第三单元函数的概念与性质知识点及常见题型讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三单元 函数 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到B的一个函数．记作 y=f(x),x∈A 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域． （1）要求必须是非空集合A，B； （2）必须是集合A中的任意一个x； （3）必须是在集合B中有唯一确定的数与之相对应; （4） “y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如“y= g(x)”； （5）函数符号“y= f(x)”中的 f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． 集合 名称 符号 集合 符号 ｛x|a≤x≤b} 闭区间 [a ,b] ｛x|x<b} (－∞,b) ｛x|a<x<b} 开区间 (a ,b) ｛x|x≥a} [a ,+∞) ｛x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a ,b) ｛x|x>a} (a ,+∞) ｛x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a ,b] R (－∞ ,+∞) ｛x|x≤b} (－∞,b] （1）区间是集合； （2）区间的左端点小于右端点； （3）区间中的元素都是点，可以用数字表示； （4）任何区间都可以在数轴上表示出来； （5）以“－∞”，“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 例如（-∞，100] 两个函数相等 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 函数的定义域： （1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R . （2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子≥0的实数的集合. （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）. 复合函数的定义域求法： （1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域； 求法：由a<x<b，知a<g(x)<b，解得的x的取值范围即是f(g(x))的定义域。 （2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域； 求法：由a<x<b，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。 例：已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。 例：已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 值域的求法 1、 观察法 利用熟知 的范围求 例：y= -1的值域 2、 换元法：形如y=ax+b± 常用此法，令 =u，求x代入 例：求y=x-的值域 3、 配方法：二次函数用此法 例：y=x2+4x+7的值域 4、 判别式法：形如y= 的式子去分母，转化为关于x的一元二次方程，用判别式≥0求y值 例：求y= 的值域 5、 分离常数法：形如y=的式子，消去分子未知数x 例：求y= 的值域 函数的解析式： 常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，方程组法。 例：已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法） 例：已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（换元法） 例：已知函数f(x)满足f(x)-2f( )=x，求函数f(x)的解析式（方程组法） 相同函数：定义域和解析式都相同 判断两个函数是否为同一个函数时应注意的三点: (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. 下列每组的两个函数中,是同一个函数的为 (　　) ①f(x)=,g(x)=x ;②f(x)=x,g(x)= ③f(x)=x0,g(x)= ;④f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 下列四组函数中,表示同一个函数的是 (　　) A.y=|x|,u= B.y= ,s=()2 C.y= ,m=n+1 D.y=·,y= 分段函数 对于一个函数来说,对应关系由几个解析式共同构成,它的图像由几条曲线共同组成,这样的函数我们称为分段函数. 单调性 增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2),则称函数f(x)在这个区间上是增函数 减函数：如果对