1.3 线段的垂直平分线导学课件 2023—2024学年 北师大版数学八年级下册

1.3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 逐点 学练 本节小结 作业提升 本节要点 1 学习流程 2 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线的判定定理 三角形三条边的垂直平分线的性质定理 用尺规作已知直线(或线段)的垂线 学习目标 知识点 线段垂直平分线的性质定理 1 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上. 结论：这个点到线段两个端点的距离相等. 感悟新知 2. 几何语言 如图1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于D，BD=CD， ∴ AB=AC. 感悟新知 3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系：两者都可以直接得到两条线段相等. 区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离. 感悟新知 特别解读 ♦线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”. ♦用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 感悟新知 例 1 如图1-3-2，在△ABC中，AB=5 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC 于点D，E，△ ACD 的周长为8 cm，求线段AC 的长. 感悟新知 解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化. 感悟新知 解：∵ DE 为BC 的垂直平分线， ∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB= 8 cm. ∵ AB=5 cm， ∴ AC=3 cm. 感悟新知 1-1. 如图，AB所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3 cm，BD=1.6 cm， 则四边形ACBD的周长是( ) 3.9 cm 7.8 cm 3.2 cm 4.6 cm B 感悟新知 知识点 线段垂直平分线的判定定理 2 1. 判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：点在线段的垂直平分线上. 感悟新知 2. 几何语言 如图1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上. 感悟新知 特别解读 ♦用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直. ♦用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上. 感悟新知 如图1-3-4，AD 为∠ BAC的平分线，交BC于点D，AE=AF，请判断线段AD 所在的直线是否为线段EF 的垂直平分线. 若是，请给予证明； 若不是，请说明理由. 例2 感悟新知 解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定，证明直线AD上的点A 和点D 到线段EF 的两个端点的距离相等即可. 感悟新知 解：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 证明：如图1-3-4，连接DE，DF. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ EAD= ∠ FAD. 在△ AED 和△ AFD 中， AE=AF， ∠ EAD= ∠ FAD， AD=AD， 感悟新知 ∴△ AED ≌△ AFD(SAS). ∴ DE=DF. ∴点D 在线段EF 的垂直平分线上. ∵ AE=AF， ∴点A 在线段EF 的垂直平分线上. ∴线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 切忌只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线. 感悟新知 教你一招：判断线段垂直平分线的两种方法 一是定义法，二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等. 感悟新知 2-1. 如图，AB=AD，BC=DC， 点E 是AC上一点. 求证： 感悟新知 (1)BE=DE； 证明：连接BD. ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． 又∵BC＝DC，∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴AC所在的直线是线段BD的垂直平分线． ∵点E是AC上一点，∴BE＝DE. 感悟新知 (2)∠ ABE= ∠ ADE. 证明：易知四边形ABCD是以直线AC为对称轴的轴对称图形， ∴∠ABE＝∠ADE. 感悟新知 知识点 三角形三条边的垂直平分线的性质定理 3 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 感悟新知 特别解读 因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平