1.4 角平分线 导学课件2023-2024学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线 第一章 三角形的证明 逐点 学练 本节小结 作业提升 本节要点 1 学习流程 2 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 三角形的角平分线的性质定理 学习目标 知识点 角平分线的性质定理 1 1. 性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角的平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 感悟新知 2. 几何语言 如图1-4-1， ∵ OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E， ∴ PD=PE. 感悟新知 特别提醒 ♦角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等). ♦利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”. 感悟新知 例 1 如图1-4-2，OD 平分∠ EOF， 在OE，OF 上分别取点A，B， 使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 感悟新知 解题秘方：在图中找出符合角的平分线的性质的模型，利用角的平分线的性质证线段相等. 感悟新知 证明：∵OD 平分∠EOF，∴∠BOD=∠AOD. 在△ BOD 和△ AOD 中， OB=OA， ∠ BOD= ∠ AOD， OD=OD， ∴△ BOD ≌△ AOD(SAS). ∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA. 又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD， ∴ PM=PN. 感悟新知 1-1. [中考·台州]如图，点P 是∠ AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥ OB，垂足为D. 若PD=2，则点P 到边OA 的距离是( ) 1 2 4 B 感悟新知 如图1-4-3，在△ ABC 中，∠ C=90°，AC=BC，AD 平分∠ CAB， 交BC 于点D，DE ⊥ AB， 垂足为E. 若AB=8 cm，求△ DEB 的周长. 例2 感悟新知 解题秘方：运用角的平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB 的周长转化为线段AB 的长. 感悟新知 解：在△ ABC 中，∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC. 又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE. 在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中， AD=AD， DC=DE， ∴ Rt△ACD ≌ Rt△AED(HL).∴ AC=AE. ∵ AC=BC，∴ AE=BC. ∴△ DEB 的周长=DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB= AE+EB=AB=8 cm. 感悟新知 2-1. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E，有下列结论： ① CD=ED；② AC+BE=AB； ③∠ BDE= ∠ BAC； ④ DA 平分∠ CDE. 其中正确的结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 感悟新知 例 3 如图1-4-4，BD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE 的长. 解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解. 感悟新知 解： 过点D 作DF ⊥ BC， 垂足为F， 如图1-4-4. ∵ BD 是∠ ABC 的平分线，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC, ∴ DE=DF. 又∵ S△ABC=S△ABD+S△BDC=×18×DE+ ×12×DF=90 (cm2)， ∴ DE=6 cm. 感悟新知 3-1. [中考·北京] 如图，在△ ABC 中，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB．若AC ＝ 2，DE ＝ 1，则S△ACD ＝______. 1 感悟新知 知识点 角平分线的判定定理 2 1. 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 感悟新知 2. 几何语言 如图1-4-5， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 感悟新知 3. 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图1-4-5，都与距离有关，即条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的) 点到角两边的距离相等. 性质 判定 感悟新知 特别提醒 1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3. 角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相