等差数列前n项和的性质和最值问题专项训练-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2023-2024学年高二下学期等差数列前n项和的性质和最值问题 一、单选题 1．在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（    ） A．10 B．100 C．110 D．120 2．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 4．在等差数列中， ，其前项和为，若，则（    ） A．2 023 B．-2 023 C．-2 024 D．2 024 5．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的公差，，，记该数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．20 B．24 C．36 D．40 7．若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 二、多选题 9．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B．是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 10．设是等差数列，是其间n项的和，且则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 11．设是公差为的等差数列，其前项和存在最大值，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．集合中元素的个数为2015 12．已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（    ） A． B．使得成立的最大自然数 C． D．中最小项为 三、填空题 13．在等差数列中,,其前项和为,则 . 14．已知等差数列的前项和为Sn(n∈N*),，则的最小值为 . 15．已知数列满足，则数列的前项和的最大值是 ． 16．已知等差数列的前n项和满足，那么以下4个结论中正确的有 .（填所有正确结论的序号 （1）公差    （2）不等式的最小正整数解为13 （3）    （4）满足的n的个数为11个 四、解答题 17．在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 18．已知等差数列的前n项和为，，， (1)求的前n项和； (2)若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围. 19．等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】利用结论：在等差数列中，其前n项和为，则数列也为等差数列，再求出的通项，代入即可. 【详解】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为， 则，则，又因为， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．A 【分析】利用下标和性质和前n项和公式可判断的符号，然后可得. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以 又，所以 所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数， 所以当时，取得最大值. 故选：A 3．B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 4．C 【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案. 【详解】由是等差数列，设公差为，则 所以，（常数），则也为等差数列. 由，则数列的公差为1. 所以 所以，所以 故选：C 5．D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 6．C 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故选：C 7．B 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 8．B 【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】由，故对称轴为，又， 所以，即，故， 所以. 故选：B 9．ACD 【分析】利用数列的单调性可判断A选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B选项；解不等式，可判断C选项；求出数列的通项公式