第7.1.2讲 全概率公式-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第三册）

第七章 随机变量及其分布 第7.1.2讲 全概率公式 班级_______ 姓名_______ 组号_______ 1．理解并掌握乘法公式和全概率公式，并会用这两个公式解决简单的实际问题，重点提升数学运算核心素养． 2．理解贝叶斯公式并能简单应用，重点培养数学建模、数据分析核心素养． 1、利用全概率公式求概率 2、利用贝叶斯公式求概率 3、综合应用 　乘法公式 由条件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝ P(A)P(B|A)．这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率．一般地，这个结论称为乘法公式． 若Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(A1)＞0，P(A1A2)＞0.则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率． 　全概率公式和贝叶斯公式 1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)． 2．全概率公式 (1)当P(A)＞0且P()＞0时，由乘法公式有 P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式． (2)公式推广 定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解． 3．贝叶斯公式 (1)一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝＝. 这称为贝叶斯公式． (2)贝叶斯公式推广 定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝. 上述公式也称为贝叶斯公式． 　　　　 全概率公式是“由原因推结果”即事件B发生(结果发生)的可能性与各种情形的“作用”大小有关，而贝叶斯公式是“已知结果求原因．”即已知事件B发生条件下，探求导致B发生的每个情形的概率(如P(A1|B))． 题型1、利用全概率公式求概率 1．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别为50%，30%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为3%，5%，现从中任取一件，若取到的是次品的概率为3.6%，则推测丙车间的次品率为（    ） A．3% B．4% C．5% D．6% 2．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 4．“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（    ） A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8 5．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 题型2、利用贝叶斯公式求概率 6．根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D