冲刺小练习10：单线段最值一垂线段最短-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

21 冲刺小练习 10：单线段最值－－－垂线段最短 ➢ 图态剖析（定点到定线） 定直线 a外有一定点 P，直线上有一动点 H，当 PH⊥a时，PH最短 ➢ 典型练习 1.如图 1，在平面直角坐标系中，D 是直线 y=－x+6 上的一个动点，⊙O 的半径 为√2，过点 D 作⊙O 的切线，切点为 A，则 AD 长度的最小值为 ． 图 1 图 2 2.如图 2，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D 是线段 AB 上一个 动点，以 BD 为边在△ABC 外作等边△BDE．若 F 是 DE 的中点，当 CF 取最小值时， △BDE 的周长为 ． 3.如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，P 为 AB 边上的一动 点，连接 PD 并延长到点 E，使得 PD∶PE=1∶3，以 PE，PC 为边作平行四边形 PEFC，连 PF，则 PF 最小值 ． 22 4.如图，在 Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=6，AC=8，E为斜边 AB边上的一动点，以 EA，EC 为边作平行四边形 EADC． （1）AB的长为 ； （2）线段 ED长度的最小值为 ． 5.（2021•广州）如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y= 1 2 x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设△PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）作△PAO 的外接圆⊙C，延长 PC 交⊙C 于点 Q，当△POQ 的面积最小时，求 ⊙C 的半径． 解：（1）∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°， ∴∠DBC=120°-∠ABD， ∵∠DBC=∠DAB+60°， ∴∠DAB+60°=120°-∠ABD， ∴∠DAB+∠ABD=60°， ∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠ABD）=180°-60°=120°； （2）①2BF=BD+AD，理由如下： 如图 2，延长 CB 至 P，使 BC=BP，连接 AP，DP，延长 BD 至 Q，使 AD=DQ，连接 AQ， ∵BP=BC，F 为 CD 的中点，∴BF 是△CDP 的中位线，∴BF∥PD，BF= 1 2 PD， ∵∠ADB=120°，∴∠ADQ=60°，∵AD=DQ， ∴△ADQ 是等边三角形，∴AD=DQ=AQ，∠QAD=60°， ∵∠ABC=120°，∴∠ABP=60°， ∵AB=BC=BP，∴△ABP 是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°， ∴∠QAD=∠BAP=60°，∴∠QAB=∠DAP，∴△QAB≌△DAP（SAS）， ∴BQ=PD，∵BF= 1 2 PD，∴2BF=BQ=BD+DQ=BD+AD； 冲刺小练习 10：单线段最值－－－垂线段最短 ➢ 图态剖析（定点到定线） 定直线 a外有一定点 P，直线上有一动点 H，当 PH⊥a时，PH最短 ➢ 典型练习 1.如图，在平面直角坐标系中，D 是直线 y=－x+6 上的一个动点，⊙O 的半径为 √2，过点 D 作⊙O 的切线，切点为 A，则 AD 长度的最小值为 ． 【解】如图，连接 OA，OD，∵DA 为⊙O 的切线，∴OA⊥DA，且 OA=√2， ∴当 OD 最小时，AD 最小，∴当 OD 与直线 y=－x+6 垂直时，OD 最小， 如图，设直线 y=－x+6 交 x 轴、y 轴于点 B、C， 则 B（6，0），C（0，6），∴OB=OC=6，∴BC=6√2， ∴OD= 1 2 BC=3√2，即 OD 的最小值为 3√2， ∴AD 的最小值=√DO2 − OA2=√(3√2)2 − (√2)2=4，故答案为：4． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D 是线段 AB 上一个动 点，以 BD 为边在△ABC 外作等边△BDE．若 F 是 DE 的中点，当 CF 取最小值时， △BDE 的周长为 ． 【解】如图，连接 BF，过点 C 作 CH⊥BF．交 BF 的延长线于 H， ∵△BDE 是等边三角形，点 F 是 DE 的中点，∴∠ABF=30°，∴点 F 在射线 BF 上 运动，当点 F 与点 H 重合时，CF 最小， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，AB=