冲刺小练习7：直角三角形斜边上的中线为斜边一半-2023-2024学年中考数学压轴模块冲刺专项练习

15 冲刺小练习 7：直角三角形斜边上的中线为斜边一半 ➢ 图态剖析 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：若 AD为 Rt△ABC斜边上的中线，则 AD= 1 2 𝐵𝐶． 相关结论： （1）AD=BD=DC；（2）△ABD，△ACD为等腰三角形；（3）∠ADB=2∠C，∠ADC=2∠B ➢ 典型练习 1.如图 1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是 BD 的中点，若 AD=6， 则 CP的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 图 1 图 2 2.如图 2，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点 D，M是边 AB的 中点，AB=20，AC=10，则线段 DM的长为 ． 3.（2022•南京模拟）如图 3，在△OAB 中，∠AOB=90°，OB=OA=5，点 C 是线段 AB 上一动点，连接 OC，以 OC 为直角边在 OC 左侧构造△OCD，使∠COD=90°， OC=OD，点 M为 DC的中点，连接 AM，在点 C运动过程中，线段 AM的最小值为 ． 图 3 图 4 4.（2024•深圳模拟）如图 4，在四边形 ABCD 中，AB=BC=6，∠ABC=60°， ∠ADC=90°，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 BE=3DE，则 BD= ． 16 5.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M、N 分别在 AB、CD 上．将该纸片沿 MN 折 叠，使点 D 落在边 BC 上，设落点为 E，折痕 MN 与 DE 相交于 Q． （1）若 E 是 BC 的中点，求 DN 的长； （2）比较线段 DE 与 MN 的大小，并说明理由； （3）若点 G 为 EF 的中点，随着折痕 MN 位置的变化，请直接写出△GQE 周长的 最小值． 【解】（1）∵∠A=100°，∠C=20°，∴∠B=180°－∠A－∠C=20°， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，∴∠BDO=∠BEO=90°， ∴∠DOE=180°－∠B=120°，∴∠DFE= 1 2 ∠DOE=60°； （2）如图，连接 OA、OC， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴AO，CO 分别是△ABC 的角平分线， ∴∠CAO= 1 2 ∠BAC= 1 2 ×100°=50°，∠ACO= 1 2 ∠ACB= 1 2 ×20°=10°， ∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=120°； （3）连接 DE， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F， ∴AD=AF，BD=BE，CF=CE，∵AC=6cm,∴AF+CF=AD+CE=AC=6cm, ∵△ABC 的周长为 20cm,∴BD+BE=20－6×2=8cm,∴BD=BE=4cm, ∵∠A=100°，∠C=20°，∴∠B=60°， ∴△BDE 是等边三角形，∴DE=BD=4cm. 冲刺小练习 7：直角三角形斜边上的中线为斜边一半 ➢ 图态剖析 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 几何语言：若 AD为 Rt△ABC斜边上的中线，则 AD= 1 2 𝐵𝐶． 相关结论： （1）AD=BD=DC；（2）△ABD，△ACD为等腰三角形；（3）∠ADB=2∠C，∠ADC=2∠B ➢ 典型练习 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是 BD 的中点，若 AD=6， 则 CP的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 【解】∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴BD=AD， ∵AD=6，∴BD=6，∵P点是 BD的中点，∴CP= 1 2 BD=3，故选：A． 2.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点 D，M是边 AB的中 点，AB=20，AC=10，则线段 DM的长为 ． 【解】如图，延长 AD 交 BC于 E， ∵∠ACB=90°，∴BC=√𝐴𝐵2 − 𝐴𝐶2=10√3， ∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，∴∠ACD=∠ECD，∠ADC=∠EDC=90°， ∴∠C