3.3垂径定理（三） 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

3.3 垂径定理（三） scc3zbsx21111704 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 知二推三，注意（1），（3） scc3zbsx21111704 1.垂径定理： 的直径平分弦且平分弦所对的 。 垂径定理推论的规律:对于一个圆和一条直线来说.如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具备其他三个:1.垂直于弦:2。过圆心;3平分弦:4平分弦所对的优弧:5平分弦所对的劣弧。当以23为题设时，“弦”不能是直径。 复习： scc3zbsx21111704 例1 .基本概念： 下面四个命题中正确的一个是 （ ） A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 scc3zbsx21111704 例2：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C.D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b, 求证AD∙BD=a2-b2. scc3zbsx21111704 ●O C D A B 当两条弦在圆心的同侧时 ●O C D A B 解: 当两条弦在圆心的两侧时 练习.已知圆O的半径为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是__________cm F E F E scc3zbsx21111704 新课导入 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． scc3zbsx21111704 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 37.4m 7.2m scc3zbsx21111704 它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 单击此处添加标题内容 赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ scc3zbsx21111704 解：如图， OD = OC – DC = R – 7.2 . 在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得 OA2 = AD2 + OD2 ， 即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2 解得 R ≈ 27.9（m）. 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. AB = 37.4， CD = 7.2 scc3zbsx21111704 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · scc3zbsx21111704 12 船过拱桥吗？ 变式：如图，某地右一圆弧形拱桥，桥下睡眠宽为7.2米，拱顶高出睡眠2.4米。现有一膄宽3米、船舱顶部为长方形并高出睡眠2米的货船要经过这里，问此货船能顺利通过这座拱桥吗？ scc3zbsx21111704 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥. 练一练：船能过拱桥吗？ 另解 scc3zbsx23022001 14 变式2.某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗? F 1.15 解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆O于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 FD=OC=2由勾股定理得: ≈0.96 ∴DF=EF+DF=2.96＜3 ∴高3m,宽2.3m的集装箱车 不能通过这个隧道 D E 1.5 1.15 2 如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过