第03讲 一元二次方程的综合及其应用-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与热点题型精练（浙教版）

第3讲 一元二次方程及其应用 知识点： 一、韦达定理的应用（复习） 基本题型类： （1）由已知方程的一个根，求出另一根及未知数； （2）不解方程，求关于方程两根、的代数式的值，比如：、、、等； （3）已知两数，求一个以两数为根的一元二次方程。如以、为根的一元二次方程为； 二、列一元二次方程解应用题的步骤 （1） 审：审题要弄清已知量和未知量及问题中的等量关系； （2） 设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3） 列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，用代数式表示出等量关系中的各个量； （4） 解：求出所列方程的解； （5） 检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； 答：写出答案 考点一、整体思想解决问题 【例1】求值： （1）如果实数x、y满足（2x+y）2﹣8（2x+y）﹣9＝0，那么2x+y的值为 　　； （2）如果实数x、y满足2x+y﹣9＝8，求代数式2x+y的值； （3）如果实数x满足（x2+2x）2+4（x2+2x）﹣5＝0，求代数式x3+3x2+x的值． 【例2】解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0时，我们可以将x2﹣1视为一个整体，设x2﹣1＝y，则y2＝（x2﹣1）2，原方程化为y2﹣5y+4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，x2＝2，∴x＝±； 当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： （1）x4﹣3x2﹣4＝0； （2）（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0． 【举一反三】 1．阅读材料，解答问题： 为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体， 解：设x2＝y，则x4＝y2， 原方程可化为y2﹣3y+2＝0， 解得y1＝2，y2＝1， 当x2＝2时，， 当x2＝1时，x＝±1， ∴原方程的解为或x＝±1． （1）上面的解题方法，利用 　换元　法达到了降幂的目的． （2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0． 2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值； 解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1， ∴x+y＝﹣2或x+y＝1． 已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值． 3．阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： （1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0； （2）x4﹣x2﹣6＝0． 4．若（4x+y）2+3（4x+y）﹣4＝0，则4x+y的值为 　　． 变式1：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2＝　　． 变式2：若（x+y）（2﹣x﹣y）+3＝0，则x+y的值为 　　． 变式3：若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y的值为 　　． 考点二、降次思想解决问题 【例1】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　　． 【例2】已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝　　． 【举一反三】 1．关于x的一元二次方程x﹣2＝0的一个根为2，则m2+m﹣2＝　　． 2．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝　　． 3．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则代数式201﹣2a﹣b的值是　　． 考点三、一元二次方程综合 【例1】已知关于x的方程x2+5px+10＝0和x2﹣2x﹣25p＝0有公共根，求p的值． 【例2】 已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值． 【例3】关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0． （1）求出方程的根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 【举一反三】 1．已知三个不同的实数a，b，c满足a﹣b+c＝3，方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实根，方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实根．求a，b，c的值． 2．阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（