第02讲 一元二次方程及其解法-2023-2024学年八年级数学下册高频考点精讲与热点题型精练（浙教版）

第2讲 一元二次方程 知识点： 一元二次方程的概念 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 一元二次方程的一般形式：（a，b，c为已知数，），称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数。 开平方法解一元二次方程 一般地，形如的方程，根据平方根的定义，可得，。这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。 配方法 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 公式法 一般地，对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。 因数分解法解一元二次方程 通过因式分解使方程的一边为两个一次因式的乘积，另一边为0的形式，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程，观察求根公式，不难得出： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，无意义，故方程没有实数根； 根与系数之间的关系 如果的两个根是、，那么，。 提示： 根与系数之间的关系成立的前提条件是方程有两个实数根，即根的判别式。 韦达定理的应用 基本题型类： （1）由已知方程的一个根，求出另一根及未知数； （2）不解方程，求关于方程两根、的代数式的值，比如：、、、等； （3）已知两数，求一个以两数为根的一元二次方程。如以、为根的一元二次方程为； 考点一、一元二次方程概念及其解 【例1】若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1 【例2】若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【例3】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 　　． 【举一反三】 1．若关于x方程（m﹣2）x2﹣3x＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m＝2 C．m≠0 D．m≥2 2．若关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0有一个根为x＝2，则代数式2m﹣n的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．10 D．12 3．已知关于x的一元二次方程ax2＝8（a≠0）的一个解为x＝2，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 4．已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　　． 考点二、直接开平方法 【例1】关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1 【例2】把方程x2﹣6x+3＝0 化为（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是（　　） A．7 B．3 C．5 D．﹣3 【举一反三】 1．用配方法将方程x2﹣8x﹣1＝0变形为（x﹣m）2＝17，则m的值是（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣4 D．8 2．如果2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，则c＝　　，它的另一个根是 　　． 3．方程（x+3）2﹣9＝0的解是　　． 4．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　　． 5．解方程： （1）25x2﹣36＝0 （2）4（2x﹣1）2＝36． 考点三、配方法及公式法 【例1】将一元二次方程x2﹣6x+2＝0配方后，变形成（x﹣m）2＝n，则m+n＝　　． 【例2】用配方法解方程：． 【例3】关于x的方程x2﹣px+q＝0通过配方得（x﹣1）2＝，则＝　　． 【例4】若关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0的唯一实数根也是关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根，则关于x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为 　　． 【例5】（1）已知x、y为实数，求代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值． （2）已知x2+y2+4x﹣6y+13＝0，x、y为实数，求xy的值． 【举一反三】 1．用配方法将方程x2+10x﹣11＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则m+n＝　　． 2．将方程x2﹣10x+16＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a＝　　，b＝　　． 3．（1）解方程：y2﹣4y+1＝0； （2）解方程：3x（x﹣1）﹣2＝2x． 4．用适当的方法解方程： （1）x2＝2x； （2）x2﹣1＝4x； （3）2x2﹣3x+1＝0． 5．用配方法求解下列问题： （1）求y2﹣6y+15的最小值； （2）求﹣2x2+8x﹣8