2024年中考数学二轮复习专题课件：二次函数综合题

二次函数综合题 类型一最值问题 典例1 （2023·宁夏）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是（－1，0），抛物线的对称轴是直线x＝1. （1） 直接写出点B的坐标. （2） 在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标和PA＋PC的最小值. （3） 第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC，交MN于点Q.依题意补全图形，当MQ＋CQ的值最大时，求点M的坐标. [思路点拨] （1） 由抛物线的对称性可直接求得点B的坐标；（2） 连接BC，则BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P，易知点C的坐标是（0，3），利用待定系数法可求出直线BC对应的函数解析式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋CQ用含参数的代数式表示出来，再结合二次函数的性质求解问题. 解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）. （2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点C， ∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图①，连接BC，则BC与直线x＝1的交点就是所求作的点P.设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋b'.把C（0，3），B（3，0）代入，得解得∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋3.∴ 当x＝1时，y＝2，∴ P（1，2）.∵ OB＝OC＝3，∴ 在Rt△BOC中，BC＝＝3.∵ 点A，B关于直线x＝1对称，∴ PA＝PB.∴ PA＋PC＝PB＋PC＝BC＝3，即PA＋PB的最小值为3. （3） 补全图形如图②所示.由（2），得抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3，直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋3，∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直角三角形.∴ CQ＝t. ∴ MQ＋CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－＋.∴ 当t＝ 时，MQ＋CQ 有最大值，此时点M的坐标为. 跟踪训练⁠ ⁠ 1. （2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－2，0），B（6，0），与y轴交于点C（0，6），D为线段BC上的一动点. （1） 求二次函数的解析式； 解：（1） 由题意，设二次函数的解析式为y＝a（x＋2）（x－6）.将C（0，6）代入，得6＝a×（0＋2）×（0－6），解得a＝－.∴ 二次函数的解析式为y＝－（x＋2）（x－6）＝－x2＋2x＋6. （2） 如图①，连接AD，OD，求△AOD周长的最小值； 解：（2） 如图，作点O关于直线BC的对称点E，连接AE，交BC于点D，连接EC，EB，则DO＝DE，易知此时△AOD的周长最小.∵ B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴ OB＝OC＝6.∵ 点O，E关于直线BC对称，∴ 易得四边形OBEC为正方形.∴ E（6，6）.∵ A（－2，0），B（6，0），∴ OA＝2，AB＝8，BE＝6.∴ AE＝＝＝10.∴ △AOD周长的最小值为DA＋DO＋AO＝DA＋DE＋AO＝AE＋AO＝10＋2＝12. （3） 如图②，过动点D作DP∥AC，交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，AD，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值. 解：（3） 设直线BC对应的函数解析式为y＝kx＋b'.将B（6，0），C（0，6）代入， 得解得∴ 直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋6.同理，可得直线AC对应的函数解析式为y＝3x＋6.∵ PD∥AC，∴ 可设直线PD对应的函数解析式为y＝3x＋d. ∵ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋6，∴ 设P（0＜m＜6）. 将点P的坐标代入y＝3x＋d，得d＝－m2－m＋6.∴ 直线PD对应的函数解析式为y＝3x－m2－m＋6.联立解得∴ D（m2＋m，－m2－m＋6）. ∵ 点P，D都在第一象限， ∴ S＝S△PAD＋S△PBD＝S△PAB－S△DAB＝AB· ＝×8×＝－m2＋9m＝－（m2－6m）＝－（m－3）2＋. ∵－＜0，∴ 当m＝3 时，S有最大值，最大