2024年中考数学二轮复习专题课件：几何图形操作变化型问题

几何图形操作变化型问题 类型一折叠问题 典例1 （2023·南通如东一模）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点D'处.过AC的中点O作OE∥BC，交AD'于点E.若AB＝8cm，BC＝6cm，则OE的长为（　C　） 典例1图 C A. cm B. 4cm C. cm D. 5cm [思路点拨] 设CD'交AB于点F，OE交AB于点G，易证明＝＝＝，由折叠及矩形的性质，易得AF＝CF，然后设AF＝CF＝xcm，在Rt△AD'F中用勾股定理构造方程求出x的值，再利用锐角三角函数求出GE的长，最后根据OE＝OG＋GE求解即可. 跟踪训练⁠ ⁠ 1. 如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，将△BCE沿BE所在直线折叠，点C落在边AD上，对应点记为F，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG.若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积. 第1题 解：∵ 四边形ABCD为矩形，AB＝6，AD＝10，∴ AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠D＝90°.根据折叠的性质，可得EF＝CE，FG＝CG，BC＝BF＝10，∠CEG＝∠FEG.∵ FG∥CD，∴ ∠CEG＝∠FGE. ∴ ∠FGE＝∠FEG.∴ FG＝EF.∴ CG＝FG＝EF＝CE.∴ 四边形CEFG为菱形.在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，∴ DF＝AD－AF＝2.设CE＝EF＝x，则DE＝6－x.在Rt△DEF中，EF2＝DF2＋DE2，∴ x2＝22＋（6－x）2，解得x＝.∴ CE＝.∴ S菱形CEFG＝CE·DF＝×2＝. 典例2 （2023·海安一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E是线段BO上一点（不与端点B，O重合），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB'与BD相交于点F. （1） 当∠BAE＝15° 时，求EF的长； （2） 若△ABF是等腰三角形，求AF的长； （3） 若EF＝k·BE，求k的取值范围. [思路点拨] （1） 根据菱形的性质以及折叠的性质，可得△ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO＝2，BO＝2，∠BAF＝∠FBA＝30°，则BF＝AF＝2－OF.根据勾股定理求出OF，根据等腰直角三角形的性质可得OE＝OA＝2，即可得EF的长.（2） 分三种情况：① 当AF＝BF时；② 当AF＝AB时；③ 当AB＝BF时.根据等腰三角形的性质分别求解即可.（3） 过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AB'于点N，根据角平分线的性质可得EM＝EN，再根据三角形的面积公式可得＝，则EF＝.由EF＝k·BE，得k＝，由点F在BD上，可知当AF⊥BD，即点F与点O重合时，AF的长最小，最小为2，由点E不与端点B，O重合，可得AF＜4.所以2≤AF＜4，即可得k的取值范围. 解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴ △ABC是等边三角形，AC⊥BD，AO＝AC，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°.∴ 易得AO＝2，BO＝2.由折叠，得∠BAE＝∠FAE＝15°， ∴ ∠BAF＝∠FBA＝30°.∴ BF＝AF＝2－OF.在Rt△AOF中，OF2＋OA2＝AF2，∴ OF2＋22＝（2－OF）2.∴ OF＝.∵ ∠BAE＝15°，∠FBA＝30°，∴ ∠AEO＝45°.∴ △AEO是等腰直角三角形.∴ OE＝OA＝2.∴ EF＝OE－OF＝2－. （2） 若△ABF是等腰三角形，分三种情况：① 当AF＝BF时，由（1），知BF＝AF＝2－OF，OF＝，∴ AF＝2－＝.② 当AF＝AB时，∵ AB＝4，∴ AF＝4.∵ E是线段BO上一点（不与端点B，O重合），∴ AF＝4不合题意，舍去.③ 如图①，当AB＝BF时. ∵ AB＝4，∴ BF＝4.∴ OF＝BF－OB＝4－2.∴ AF＝＝＝2－2.综上所述，AF的长为或2－2. （3） 如图②，过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AB'于点N.由折叠，得∠BAE＝∠FAE，∴ EM＝EN.∴ ＝＝.又∵ 易知＝，∴ ＝.∴ EF＝.∵ EF＝k·BE，∴ k＝.∵ 点F在BD上，∴ 当AF⊥BD，即点F与点O重合时，AF的长最小，最小为2. ∵ 点E不与端点B，O重合，∴ AF＜4.∴ 2≤AF＜4.∴ ≤＜1，即k的取值范围是≤k＜1. 跟踪训练⁠ ⁠ 2. （2023·南通海门一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E是对角线BD上的一动点，∠DAE＝α（α≠45°）.将△ADE沿AE所在的直线翻折得到△AFE，直线BF交DC于点G. （1） 当0°＜α＜45°时，求∠DBG的度数（用含α的式子表示）. 解：（1） 如图，设AF交BD于点O.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠BAD＝90°.∴ ∠ABD＝∠A