6.2.3向量的数乘运算课件（第一课时）-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3 向量的数乘运算 人教2019A版必修 第二册 【教学目标】 1.了解向量数乘的概念. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行运算. 3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法. 问题 如图，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它们的长度和方向分别是怎样的？ 3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即|－3a |=3|a| 3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|=3|a| 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 　　，这种运算叫做向量的　　 ，记作 ，其长度与方向规定如下： (2)λa(a≠0)的方向 当 时，与a的方向相同； 当 时，与a的方向相反. λ>0 λ<0 向量 数乘 |λ||a| 特别地，当λ＝0时，λa＝ ；当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 当a＝0时， λa＝ . 0 λa 注意点：(1)数乘向量仍是向量；(2)实数λ与向量不能相加. 一、向量的数乘 (1)|λa|＝ . 0 　　 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是 A.当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ＝0时，λa与a是共线向量 C.|λa|＝λ|a| D.当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同 例1 变式 若C在直线AB上呢？ 1.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ . 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的 、　 、 　　运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　　　　　 . (λμ)a λa＋μa λa＋λb 加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 二、向量的线性运算 练习 若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. 三、用已知向量表示其他向量 例3 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，然后利用向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量. (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练3 补充：定比分点定理 四、向量共线定理 探究 引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . b＝λa 判断真假： (1) 若b＝λa，则b//a. (2) 若b//a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 跟踪训练4 课堂 小结 1.知识清单： (1)向量的数乘及运算律. (2)向量共线定理. (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量. 课堂小结 　＝＋＋＝a＋a＋a 把a＋a＋a 记作3a.  ＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a) 记作－3a. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于 A.a－b B.a＋b C.a＋b D.a－b 在△ABC中，若点D满足＝2，则等于 A.＋ B.－ C.－ D.＋ 已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是__________. 探究　若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且＝x＋y， 求证：x＋y＝1. 思考 已知＝x＋y，若x＋y＝1. 求证：A，B，C三点共线. 结论：若O，A，B，C四点不共线，且＝x＋y 则“x＋y＝1”是“A，B，C三点共线”的充要条件. $$