1.5.1 第2课时 平面向量数量积及其运算性质的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版）

第 2 课时　平面向量数量积及其运算性质的应用 　　　　　　　　 (深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.进一步掌握平面向量数量积的运算． 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角问题． 1 2 目 录 3 题型(一)　数量积的运算 题型(二)　向量的模 题型(三)　向量的夹角与垂直 2 题型(一)　数量积的运算 [方法技巧] 求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．　　 答案：B　 答案：11 题型(二)　向量的模 [针对训练] 3．已知向量a，b满足|a＋b|＝4，|a－b|＝2，则|a||b|的最大值是(　 ) A．3 　　　 B．4 C．5 　　　 D．6 答案：C　 解析：∵|a＋b|＝4，|a－b|＝2，∴|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2＝20.∴|a|2＋|b|2＝10.∵(a－b)2≥0，∴|a|2＋|b|2≥2|a||b|.∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5，故选C. 题型(三)　向量的夹角与垂直 [典例3]　已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b夹角的大小． [解]　因为a，b都是非零向量， 由a＋3b与7a－5b垂直， 则(a＋3b)·(7a－5b)＝0， 即7a2＋16a·b－15b2＝0.　① 由a－4b与7a－2b垂直， [针对训练] 5．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角大小为________． 答案：120° 6．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，则k的最小值为________． 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0. 又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋t(t－3)b2＝0. 7．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，当向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，实数λ的取值范围为________． [典例1]　(1)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　 ) A. B．3 C．2 D．5 (2)(2021·新课标Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. [解析]　(1)由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝||2－||2＝4－1＝3，故选B. (2)法一：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0⇒2(a·b＋b·c＋c·a)＋9＝0⇒a·b＋b·c＋c·a＝－. 法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－. 由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－. 由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－. ∴a·b＋b·c＋c·a＝－. [答案]　(1)B　(2)－ [针对训练] 1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝2，则·＝(　 ) A．2 B．4 C．3 D． 解析：根据向量的线性运算，结合平面向量数量积的定义可得·＝(＋)·＝·＋·，由AD⊥AB，可知·＝0，又因为＝ ，||＝2，所以·＝·＝||·||·cos∠ADB＝×2×||×＝4.故选B. 2．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析：(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋|b|2＝2×1×3×＋32＝11. [典例2]　已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|. [解]　因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10， 所以4a2＋4a·b＋b2＝10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1， 所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2|b|－6＝0， 解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)． [方法技巧] 求向量模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．　　 4．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q对应的线