1.5.1 第1课时 向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版）

1.5.1　数量积的定义及计算 第 1 课时　向量的数量积(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1 2 目 录 3 逐点清(一)　数量积的背景及定义 逐点清(二)　投影 逐点清(三)　数量积的运算律 2 [多维度理解] 1．数量积的定义 (1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝_______________为a与b的数量积． (2)〈a，b〉＝α的取值范围为_______． 逐点清(一)　数量积的背景及定义 |a||b|cos〈a，b〉 [0，π] (2)当a＝0或b＝0时，由于零向量与任意向量垂直，因而仍有______.因此，a·b＝0⇔______对所有情形均成立． a⊥b a⊥b a⊥b 微点助解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． 答案：B　 答案：B　 答案：D　 4．已知|a|＝2，|b|＝5，若①a∥b，②a⊥b，分别求a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°. ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝2×5×1＝10. 若a与b反向，则它们的夹角为180°. ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当a⊥b时，它们的夹角为90°. ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝2×5×0＝0. 逐点清(二)　投影 a的长度|a|与b在a方向上的 投影|b|cos α的乘积 答案：D　 答案：C　 解析： a·b＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝|b|·|2e|＝2×2＝4.故选C. 答案：C　 4．已知|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角θ为60°，则b在a方向上的投影长为________． 答案：1 答案：－e 逐点清(三)　数量积的运算律 [多维度理解] 1．平面向量数量积的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b=_____； (2)与数乘的结合律：a·(λb)＝_______； (3)关于加法的分配律：a·(b＋c)＝__________. b·a λ(a·b) a·b＋a·c 微点助解 (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． [细微点练明] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　 ) A．0·a＝0 B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b＝0⇒a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2 答案：AB　 解析：0·a＝0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b＝0⇒a⊥b，C正确；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，D正确．故选A、B. 答案：A　 答案：A　 答案：C　 答案：A　 2．相关概念 (1)当a，b均不为0时，a·b＝0⇔cos α＝0⇔α＝⇔_______ (α＝〈a，b〉)． [细微点练明] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 2．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A. B． C．1＋ D．2 解析：由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 3．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝(　 ) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：在等边三角形ABC中，有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝－.故选D. [多维度理解] 1．投影向量及投影长 如图，作向量＝a，＝b，两个向量的夹角为α，过点B