13.2.3 第3课时 点面距与线面距及直线与平面所成的角(深化课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

1.了解点到平面的距离，直线和平面的距离的概念． 2．了解直线和平面所成角的概念，能利用线面关系寻找直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角． 第 3 课时　点面距与线面距及直线与平面所成的角(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．两种距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个______________的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上__________________________，叫作这条直线和这个平面的距离． 点和垂足间 任意一点到这个平面的距离 2．直线与平面所成的角 (1)相关概念： ①斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的_________. ②斜足：斜线与平面的______叫作斜足． ③斜线段：斜线上一点与斜足间的_____叫作这个点到平面的斜线段． 斜线 交点 线段 (2)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的_____，叫作这条直线与这个平面所成的角． (3)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是____；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是______. (4)取值范围：设直线与平面所成的角为θ，则____________. 锐角 直角 0°角 0°≤θ≤90° 1 2 目 录 3 题型(一)　距离问题 题型(二)　直线与平面所成的角 题型(三)　直线与平面位置关系的综合问题 5 题型(一)　 距离问题 ∵OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB. 又∵OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC. [方法技巧] (1)从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求空间图形的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．　　 [针对训练] 1．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5. (1)求点B1到平面A1BCD1的距离； (2)求B1C1到平面A1BCD1的距离． 解：(1) 如图，过点B1作B1E⊥A1B于点E. 由题意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E⊂平面A1ABB1， ∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，BC⊂平面A1BCD1，A1B⊂平面A1BCD1， ∴B1E⊥平面A1BCD1， ∴线段B1E的长即为所求． [典例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角． 题型(二)　 直线与平面所成的角 [解]　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2) 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． [方法技巧] 求解直线和平面所成角的一般步骤 求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为 (1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置是关键；几何图形的特征是确定垂足的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等． (2)证：即证明所找到的角为直线和平面所成的角，也就是证明选取的点与垂足的连线和平面垂直，依据就是直线和平面所成角的定义． (3)求：将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算．　　 [针对训练]　 2．三棱锥S－ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值． 解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO. 则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO. ∵SA＝SB＝SC＝a， ∴△SOA≌△SOB≌△SOC， ∴AO＝BO＝CO， ∴O为△ABC的外心． ∵△ABC为正三角形， ∴O为△ABC的中心． ∵SO⊥平面ABC， ∴∠SAO即为SA与平面ABC所成的角． 题型(三) 　直线与平面位置关系的综合问题 [典例3]　如图，PA⊥矩形ABC