11.2 第2课时 正弦定理的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

第 2 课时　正弦定理的应用 (深化课—题型研究式教学) 1 2 目 录 3 题型(一)　正弦定理的实际应用 题型(二)　三角形面积问题 题型(三)　正弦定理的综合应用 2 [典例1]　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 题型(一)　正弦定理的实际应用 [方法技巧] 解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．　　 答案：3 题型(二)　三角形面积问题 答案：A　 题型(三)　正弦定理的综合应用 [方法技巧] 正、余弦定理主要应用就是实现边角互化，要注意边化为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换化简，注意式子结构的灵活变换．　　 三角形的面积公式 (1)S△ABC＝bcsin A＝________＝________，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长． acsin B absin C [解]　在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)． ∴＝， 即＝.∴BC＝·s. 在△ABC中，由于∠ABC＝90°， ∴＝tan θ. ∴AB＝BC·tan θ＝·s. [针对训练] 1．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从点D测得∠ADC＝67.5°，从点C测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝2，CE＝，则A，B两点间的距离为________． 解析：根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，可得BC＝＝＝.在△ABC中，AC＝2，BC＝， ∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝12＋3－2×2××＝9，故AB＝3. [典例2]　在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． [解析]　法一：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sin B＝1.因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝AC·BC·sin C＝2. 法二：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，故△ABC为直角三角形，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC＝2. [答案]　2 [方法技巧] (1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．　　 (2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式． [针对训练] 2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的大小为(　 ) A．60°或120° B．60° C．120° D．30°或150° 解析：由S△ABC＝bcsin A得＝×2××sin A，所以sin A＝.故A＝60°或A＝120°.故选A. 3．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝，则△ABC的面积为________． 解析：在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝，利用正弦定理可得C＝120°(60°舍)，得到B＝30°，利用面积公式得S△ABC＝×1××＝. 答案： [典例3]　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－bcos C)＝csin B． (1)求角B的大小； (2)若a＝3，c＝2，D为BC边上一点，CD＝DB，求cos2∠BDA的值． [解]　(1)因为(a－bcos C)＝csin B， 所以a－bcos C＝csin B． 由正弦定理得sin A－sin Bcos C＝sin Csin B， 即sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Csin B， 化简得cos Bsin C＝sin Csin