11.1 第2课时 余弦定理的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

第 2 课时　余弦定理的应用 (深化课—题型研究式教学) 1 2 目 录 3 题型(一)　余弦定理的实际应用 题型(二)　利用余弦定理证明恒等式 题型(三)　余弦定理与平面图形结合 2 题型(一)　 余弦定理的实际应用 [答案]　A [方法技巧] 余弦定理在解决实际问题中的策略 首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．　　 [针对训练] 1.如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝______m. 答案：200 [典例2]　如图，已知▱ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． [证明]　设∠ABC＝α，∠BCD＝π－α. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos α　①. 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos(π－α)　②. 又cos(π－α)＝－cos α，CD＝AB，BC＝AD，将①②两式相加，得AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 题型(二)　利用余弦定理证明恒等式 [方法技巧] (1)利用余弦定理的前提是必须在三角形中，在四边形中如何选择有用的三角形是关键； (2)任何一个三角形都不可能包含四边，因此必须选择两个三角形； (3)几何证明的关键是把有关量放到三角形中，借助余弦定理建立它们的关系，从而达到证明的效果，其中构造合适的三角形是关键．　 [针对训练] 2．在△ABC中，求证：b2＋c2＝abcos C＋accos B＋2bccos A. 题型(三)　余弦定理与平面图形结合 [方法技巧] 解三角形广泛应用于解各种平面图形，解题时可将问题纳入三角形中去解决，理清已知条件与待求问题，再根据余弦定理建立未知量与已知量的关系式来求．　　 [典例1]　一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为6海里，则灯塔与轮船原来的距离为(　 ) A．6海里 B．12海里 C．6海里或12海里 D．6 海里 [解析]　如图，设轮船原来在A处，航行20分钟后到达B处，C为灯塔的位置，根据条件可得∠BAC＝120°，AB＝18×＝6(海里)，BC＝6 海里， 由余弦定理可得cos 120°＝＝＝－， 解得AC＝6(AC＝－12舍去)． 故灯塔与轮船原来的距离为6海里． 故选A. 解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 若设AB＝h，则BC＝h； 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝ h. 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD， 即2002＝h2＋(h)2－2h·h·， 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB＝200 m. 证明：法一：右边＝ab·＋ac·＋2bc·＝＋＋b2＋c2－a2＝b2＋c2＝左边，所以等式成立． 法二：＝＋⇒·(＋)＝(＋)2⇒·＋·＝2＋2·＋2⇒accos B＋abcos C＝c2＋b2－2bccos A⇒b2＋c2＝abcos C＋accos B＋2bccos A. [典例3]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线． (1)若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长； (2)若·＝c2，求角B的大小． [解]　(1)在△ADC中，AD＝1，AC＝2，DC＝BC＝2，由余弦定理得cos C＝＝＝. 故在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋22－2×4×2×＝6，所以c＝. (2)因为AD为边BC上的中线， 所以＝(＋)． 所以c2＝·＝·(＋)＝2＋·＝c2＋cbcos A，可得c＝bcos A. 则c＝b·，化简得b2＝c2＋a2， 所以B＝90°. 解：如图，设BC的长为x，则由M为BC的中点，可得BM＝MC＝. 在△AMB中，cos∠AMB＝ ＝， 在△AMC中，cos∠AMC＝＝， ∵∠AMB＋∠AMC＝180°， ∴cos∠AMB＝cos(180°－∠AMC)＝－cos∠AMC， ∴＝－， 解得x＝(舍负)， ∴BC＝. $$