11.1 第1课时 余弦定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

BUSINESS POWERPOINT 第11章 解三角形 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，了解余弦定理的推导过程． 2．掌握余弦定理及其变形，并能利用余弦定理解决相关问题． 11.1　余弦定理 第 1 课时　余弦定理(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 3 其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 2.解三角形的定义 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作__________． 元素 解三角形 微点助解 1．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 2．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2＞a2＋b2⇔C为钝角；c2＜a2＋b2⇔C为锐角． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 答案：D　 答案：B　 3. 在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________. [方法技巧] 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．　　 (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 答案：C　 解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故选C. 答案：D　 [方法技巧] 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　 答案：A　 答案：A　 [方法技巧] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．　　 (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． [针对训练] 5．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状． 又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， sin A＝2sin B·cos C， ∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0， 即sin(B－C)＝0，∴B＝C. 又∵B＋C＝120°， ∴A＝B＝C＝60°. 故△ABC为等边三角形． 文字语言 三角形任何一边的平方等于_________________ _____________________________________ 符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝________________，c2＝__________________ 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ [基点训练] 1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于(　 ) A. B．8 C．10 D．7 解析：由余弦定理得c＝＝＝7. 2．在△ABC中，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　 ) A．30° B．60° C．45° D．90° 解析：因为a＝，b＝3，c＝2，所以由余弦定理得cos A＝＝＝.又0°<A<180°，则A＝60°.故选B. 解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝. 答案： 题型(一)　已知两边和一角解三角形 [典例1]　(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． [解]　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2)2－2×3×2×cos 30°＝3. 所以a＝. (2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝B＝30°，C＝120°； 当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0， 又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°. 综上，当a＝