9.2.3 第1课时 向量的数量积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（苏教版）

1.通过物理中功等实例，理解向量数量积的概念及意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．掌握平面向量数量积运算律及运算性质，并能解一些简单问题． 9.2.3　向量的数量积 第 1 课时　向量的数量积(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1 2 目 录 3 逐点清(一)　向量的数量积 逐点清(二)　投影向量 逐点清(三)　数量积的运算律及运算性质 2 [多维度理解] 1．向量的数量积 逐点清(一)　向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量___________叫作向量a和b的数量积 记法 记作a·b，即a·b＝__________ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 a·b＝0 微点助解 (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数． (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定． 答案：B　 2．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b夹角的大小为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C　 答案：B　 答案：D　 答案：A　 逐点清(二)　投影向量 向量a在向量b 2．向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的__________________的数量积． 投影向量与向量b 答案：D　 答案：C　 解析： a·b＝|b|·|a|cos〈a，b〉＝|b|·|2e|＝2×2＝4.故选C. 答案：C　 答案：A　 答案：－e 逐点清(三)　数量积的运算律及运算性质 [多维度理解] 1．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝_____ 结合律 (λa)·b＝a ·(λb)＝λ(a ·b)＝λa ·b 分配律 (a＋b)·c＝_________ b ·a a ·c＋b ·c 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a ·e＝e ·a＝|a|cos θ. (2)当a与b同向时，a ·b＝|a||b|，当a与b反向时，a ·b＝－|a||b|. (3)|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时等号成立． 微点助解 (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． [细微点练明] 1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是(　 ) A．0·a＝0 B．(a·b)·c＝a·(b·c) C．a·b＝0⇒a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2 答案：AB　 解析：0·a＝0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b＝0⇒a⊥b，C正确；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，D正确．故选A、B. 答案：A　 答案：A　 答案：C　 5．已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则a与b的夹角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：A　 2．向量的夹角、垂直及模 (1)两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝______. (2)a⊥b⇔________ (a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝______. [细微点练明] 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 解析：由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3. 解析：因为|a|＝3，|b|＝2, a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°. 3．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于(　 ) A. B. C．1＋ D．2 解析：由题意得a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°＝1＋＝，故选B. 4．已知等边三角形ABC的边长为1，设＝a，＝b，＝c，