6.1.3 基本初等函数的导数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.3　基本初等函数的导数 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 f(x) 每一个值x 2．常数函数与幂函数的导数 0 1 3．导数公式表 0 αxα－1 axln a 续表 cos x －sin x ex 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数． (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数． [题点一] 用导数公式求函数的导数 方法技巧 求简单函数导函数的两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂． (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 对点训练 [题点二] 利用导数公式研究切线问题 [典例2]　过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率． [解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，ex0)， 则过该切点的直线的斜率为ex0， 所以切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)． 因为切线过原点，所以－ex0＝－x0·ex0，x0＝1. 所以切点为(1，e)，切线斜率为e. 1．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 拓展 解析：∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2， ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2. 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1. 2.已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 方法技巧 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 对点训练 2．(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________. 3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解：因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′＝2x0. [题点三] 利用导数的几何意义求参数 [答案]　C 方法技巧 利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 对点训练 答案：D　 5．已知直线(8ln 2)x－y－8ln 2＋4＝0是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)图象的一条切线，求底数a的值． 解得a＝4，x0＝1.综上，a＝4. 答案：C　 解析：∵f1(x)＝sin x， 由此可知fn＋4(x)＝fn(x)，n∈N， ∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x. 答案：A　 强化拓广探索 答案：B　 解析：设f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x， f(x0＋Δx)≈f(x0)＋f′(x0)Δx， 5．法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y＝f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a，b]上是连续不断的；(2)在区间(a，b)上都有导数，则在区间(a，b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，其中ξ称为拉格朗日中值．则g(x)＝ln x在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ＝________. 答案：e－1 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些 简单问题． 重点 难点 重点：基本初等函数的导数公式及其运用． 难点：基本初等函数的导数公式的推导. 1．导函数 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称______可导．此时，对定义域内的___________，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，y′x)，即f′(x ＝y′＝y′x＝___________________.导函数通常也简称为导数． 原函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝___ f(x)＝x f′(x)＝___ f(x)＝ f′(x)＝______ f(x)＝(x>0)