6.1.2 第2课时 导数的几何意义（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.2　第二课时　导数的几何意义 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 这就是说，________就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是______________________． 斜率 f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系 导数符号 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 平坦 k＝0 零角(切线与x轴平行) 说明：切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢． 答案：A　 答案：－1 [题点一] 对导数几何意义的理解 [典例1]　(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 (　 ) A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 (2)函数f(x)在x＝4处的切线方程为y＝3x＋5，则f(4)＋f′(4)＝(　 ) A．10 B．20 C．30 D．40 [答案]　(1)B　(2)B [解析]　(1)由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB)． (2)因为f(4)＝3×4＋5＝17，又在x＝4处的导数为f′(4)＝3，所以f(4)＋f′(4)＝20. 方法技巧 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小． 对点训练 1.函数f(x)的图象如图所示，则 (　 ) A．f′(1)>f′(2)>f′(3) B．f′(2)>f′(1)>f′(3) C．f′(3)>f′(2)>f′(1) D．f′(3)>f′(1)>f′(2) 答案：C　 解析：由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1)． 2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y) 处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝ (　 ) A．－3 B．－2 C．2 D．1 答案：D　 解析：由题可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则切线l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1. [题点二] 利用导数的几何意义求切线方程 ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. 本例曲线方程不变，求曲线过点P(2,4)的切线方程． 拓展 ∵点P(2,4)在切线上， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤 对点训练 答案：B　 所以f′(x0)＝x0，所以在P点处切线的斜率为1，故切线的倾斜角为45°. 答案：C　 [题点三] 切线方程的应用 所以直线l的方程为4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0. 方法技巧 求解与导数的几何意义有关问题的注意点 (1)注意曲线横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 对点训练 5.已知曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点M处的切线斜率为2，求点M的坐标． 解：∵f(x)＝x3＋2x＋1， ＝3x2＋2. 设M(x0，y0)，∵曲线f(x)＝x3＋2x＋1在点M处的切线斜率为2. ∴点M的坐标为(0,1)． 发展理性思维 1．若曲线f(x)＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是 (　 ) A．(0,0) B．(0,1) C．(2,2) D．(－2,0) 答案：A　 解析：设P(x0，y0)， 当Δx→0时，2x0＋2＋Δx→2x0＋2. 因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0， 所以点P处的切线的斜率为2， 所以2x0＋2＝2， 解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)． 2．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，则a＝________，b＝________. 答案：3　3 ＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线的斜率k1＝2a. ＝3x2＋b， 所以g′