6.1.2 第1课时 导 数（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

6.1.2　导数及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达式. 2.进一步体会极限思想，会利用导数的概念求函数在某点处的导数. 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 重点 难点 重点:导数的概念、几何意义及应用. 难点:对导数概念的理解. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 第一课时　导　数 x＝x0 Δx无限接近于0 2．函数f(x)在x＝x0处的导数 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在____处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作___________. x0 f′(x0)＝k 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． (　 ) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关． (　 ) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． (　 ) (4)函数f(x)＝0没有导函数． (　 ) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同． (　 ) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在. (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是　(　 ) A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．直线 答案：D　 解析：因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常数函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线．故选D. 答案：AD　 [题点一] 求运动物体的瞬时变化率 [典例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 当Δt→0时，3＋Δt→3， ∴物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． 解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 拓展 ∴当Δt→0时，1＋Δt→1.∴物体在t＝0时的瞬时速度为1 m/s，即物体的初速度为1 m/s. 2. 在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. ∴当Δt→0时，2t0＋1＋Δt→2t0＋1，则2t0＋1＝9， ∴t0＝4，则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s. 方法技巧 对点训练 1.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m；时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a. 解：∵s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2， [题点二] 瞬时变化率的实际意义 [典例2]　求球的体积在半径为3时的瞬时变化率，并指出这一瞬时变化率的实际意义． 故球在r＝3时的瞬时变化率为36π. 这一瞬时变化率的实际意义为球的表面积． 方法技巧 认识瞬时变化率的关键点 (1)极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限． (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数f′(x0)反映了函数在x＝x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况． 对点训练 2．某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：元)与产量x(单位：台)之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600. (1)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； (2)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 令Δx1→0，可得c′(1 000)＝3 000. 设x＝1 500时产量的改变量为Δx2， 令Δx2→0，可得c′(1 500)＝1 000.c′(1 000)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元；c′(1 500)的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获得1 000元． [题点三] 求函数在一点处的导数 [典例3]　根据导数的定义，求下列函数的导数： (1)求函数f(x)＝x2＋3在x＝1处的导数； 方法技巧 求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的三个步骤 对点训练 发展理性思维 答案：C　 答案：C　 当Δx→0时，aΔx＋b→b.∴f′(0)＝b>0. ∵函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点， 函数在某点处的导数 1．瞬时变化率 一般地