第5章 数列 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 续表 (二)把握数学思想和方法 本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想 (1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法； (2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了分组求和法、裂项相消法和错位相减法； (3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想； (4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　等差、等比数列的基本运算 1．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是 (　 ) A．120 B．130 C．140 D．150 答案：C　 答案：B　 4．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为 (　 ) A．3 B．18 C．54 D．152 答案：C　 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可得当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，　① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，　② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54.故选C. 解析：由a1＝2，Sn＋1－3Sn＝2，得S2－3S1＝2，即2＋a2－6＝2，解得a2＝6. 6．已知等差数列{an}的公差d≠0，{an}中的部分项组成的数列ak1，ak2，…，akn，…恰好为等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17，求数列{kn}的通项公式． 解：由题意可知，a1，a5，a17成等比数列，则a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)， 化简得8a1d＋16d2＝16a1d. ∵d≠0，∴a1＝2d. ∴an＝a1＋(n－1)d＝2d＋(n－1)d＝(n＋1)d. ∴a5＝6d. 由等差数列的通项公式得akn＝(kn＋1)d，∴kn＋1＝2·3n－1，解得kn＝2·3n－1－1. 因此，数列{kn}的通项公式为kn＝2·3n－1－1，k∈N＋. 题型二　等差、等比数列的判定 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：∵an＋Sn＝n，　 ① ∴ an＋1＋Sn＋1＝n＋1.　　　　 ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)求证：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)存在λ＝4满足题意．理由如下： 由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4， ∴数列{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列， a2n－1＝4n－3； 同理，数列{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列， a2n＝4n－1. 综上可得an＝2n－1，an＋1－an＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列． [题型技法]　等差、等比数列的判定方法 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列 an＝cqn(c，q均为非零常数)⇔{an}是等比数列 前n项和 公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列 Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0且q≠1)⇔{an}是等比数列 续表 答案：C　 ＝n2＋2n(n∈N＋)， 11．在①a5＝b4＋2b6，②a3＋a5＝4(b1＋b4)，③b2S4＝5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 设{an}是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，{bn}是等差数列．已知a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，a4＝b3＋b5，__________. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn，求Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＝1，S3－S2＝a2＋2a1，∴a3＝a2＋2a1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1， ∵q>0，∴q＝2，∴an＝2n－1. 选条件