5.5 数学归纳法（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

*5.5　数学归纳法 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解数学归纳法的原理． 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题． 重点难点 重点：理解数学归纳法的简单应用． 难点：对数学归纳法的理解. 1 2 目 录 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 2 数学归纳法的定义 一个与自然数有关的命题，如果 (1)当n＝n0时，___________； (2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出_________时命题也成立．那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立． 命题成立 n＝k＋1 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 1．判断正误(正确的划“√”，错误的划“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． (　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. (　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ [题点一] 用数学归纳法证明等式 ②假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立， 即(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(k2＋k) 方法技巧 用数学归纳法证明恒等式应注意的3点 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． 对点训练 1．用数学归纳法证明：1×2＋2×5＋…＋n(3n－1)＝n2(n＋1)(n∈N，n≥1)． 证明：①当n＝1 时，1×2＋2×5＋…＋n(3n－1)＝1×2，n2(n＋1)＝1×2，等式成立． ②假设当n＝k时，1×2＋2×5＋…＋k(3k－1)＝k2(k＋1)． 当n＝k＋1时，1×2＋2×5＋…＋k(3k－1)＋(k＋1)(3k＋2)＝k2(k＋1)＋(k＋1)(3k＋2) ＝(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)＋1] ， 即n＝k＋1时，等式成立． 综合①②可知，1×2＋2×5＋…＋n(3n－1)＝n2(n＋1)(n∈N，n≥1)． [题点二] 数学归纳法证明数列问题 [典例2]　已知数列{an}中，Sn是{an}的前n项和且Sn是2a与－2nan的等差中项，其中a是不为0的常数． (1)求a1，a2，a3； (2)猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明． 方法技巧 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 对点训练 ①当n＝1时，猜想显然成立； ②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时成立，即ak＝3k＋1； [题点三] 用数学归纳法证明不等式 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立． 方法技巧 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 关键点一 验证第1个n的取值时，要注意 n0不一定为1，若条件为n＞k，则n0＝k＋1 关键点二 证明不等式的第二步中，从 n＝k到n＝k＋1 的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推” 关键点三 应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n＝k＋1 时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程 关键点四 证明n＝k＋1成立时，应加强目标意识，即要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放得过大”或“缩得过小” 续表 对点训练 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由①②知对一切n∈N＋，n＞2，不等式恒成立． 2．若f