5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的应用及数列求和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.3.2　第二课时　等比数列的前n项和的 应用及数列求和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 2.掌握四种数列求和的方法. 重点 难点 重点:数列的前n项和. 难点:等比数列前n项和的实际应用. 1 2 目 录 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 [题点一] 等比数列前n项和的实际应用 方法技巧 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． [提醒]　①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和． 对点训练 答案：B　 [题点二] 分组法求和 [典例2]　在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) 方法技巧 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和． 对点训练 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为 (　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 答案：C　 解：(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3. 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)由(1)可得a2n＝3n－1，a2n－1＝a2n－2＋2＝bn－1＋2＝3n－2. 所以a19＝3×10－2＝28，a20＝3×10－1＝29. [题点三] 裂项相消法求和 几种常见的裂项方式 方法技巧 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点． 对点训练 4．已知正项数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式； 解：(1)证明：∵a1＝1，an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2. ∴an＋1＝2×2n－1＝2n.∴an＝2n－1. [题点四] 错位相减法求和 [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q. ∵a1,3a2,9a3成等差数列， 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 方法技巧 5.(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1,2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 对点训练 解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. 解析：由题意知，对折3次可以得到12 dm×2.5 dm，6 dm×5 dm,3 dm×10 dm,1.5 dm×20 dm四种规格的图形，面积之和S3＝120 dm2，对折4次可以得到12 dm×1.25 dm,6 dm×2.5 dm,3 dm×5 dm，1.5 dm×10 dm，0.75 dm×20 dm五种规格的图形，面积之和S4＝75 dm2.因为S1＝240 dm2＝(120×2)dm2，S2＝180 dm2＝(60×3)dm2，S3＝120 dm2＝(30×4)dm2，S4＝75 dm2＝(15×5)dm2，以此类推，Sn＝120 35 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．设{an