5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

　5.3.2　等比数列的前n项和 第一课时　等比数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 重点 难点 重点：等比数列前n项和公式及性质的应用． 难点：等比数列前n项和. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．等比数列的前n项和公式 (2)两种思想： 关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． 1．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：A　 2．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝ (　 ) A．－4 B．－1 C．0 D．1 答案：B　 3．对于等比数列{an}，a1＝5，q＝2，Sn＝35，则an＝________. 答案：20 [题点一] 等比数列前n项和的基本运算 [典例1]　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 方法技巧 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． 对点训练 1．在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：法一：∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.　① [题点二] 等比数列前n项和性质及应用 [典例2]　(1)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝ (　 ) A．80 B．30 C．26 D．16 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________． (3)若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________. [解析]　(1)由题意知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，设公比为q，则S3n＝Sn＋(S2n－Sn)＋(S3n－S2n)＝2×(1＋q＋q2)＝14，解得q＝2，所以S4n－S3n＝2q3＝2×8＝16，S4n＝S3n＋(S4n－S3n)＝14＋16＝30. 在本例(1)中，若把条件换为“Sn＝2，S2n＝6”，求S4n. 解：设数列{an}的公比为q，首项为a1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2. 拓展 方法技巧 结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键． 对点训练 2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式． 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶， 由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶． 又因为a1·a1q·a1q2＝64， [题点三] 等差、等比数列的综合问题 [典例3]　设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N＋)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． [解]　(1)设等比数列{bn}的公比为q(q＞0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. 因为q＞0，可得q＝2，故bn＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4　①. 由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16　②. 联立①②解得a1＝1，d＝1，故an＝n， 方法技巧 等差、等比数列的综合问题的解题技巧 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想、通项公式和前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公