5.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2.2　第二课时　等差数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2.会求等差数列前n项和的最值． 重点 难点 重点：等差数列的实际应用及最值问题． 难点：同重点. 1 2 目 录 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 [题点一] 等差数列前n项和的实际应用 [典例1]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 方法技巧 应用等差数列解决实际问题的思路 建模 根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型 解模 利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解 还原 把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解 对点训练 1．为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划，第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m? [题点二] 等差数列前n项和的最值问题 [典例2]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． ∴当n＝3或n＝4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 又n∈N＋，∴当n＝3或n＝4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 1.将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． 拓展 2．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 3．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 方法技巧 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0，前n项和有最小值，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值． (3)利用二次函数的图象的对称性． [题点三] 求等差数列前n项的绝对值之和 [典例3]　(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. [解]　(1)设{an}的公差为d， 解得a1＝13，d＝－2. 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n. 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15) ＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1] 方法技巧 求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和． 对点训练 ∵a1＝101也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N＋)． ②当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn 一、在典题训练中内化学科素养 等差数列前n项和的性质的应用是考查的重点，常可以类比二次函数，解决其中的最值问题，考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为 (　 ) A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17 答案：A　 答案：C　 解析：由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n. 设数列{an}的前n项和为Sn， 由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列， 所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n. 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．已知d是等差数列{an}的公差