5.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.2.1　第二课时　等差数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.理解等差中项的概念，了解等差数列的有关性质. 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 重点难点 重点:等差数列的实际应用及其性质的应用. 难点:等差数列性质的应用. 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．等差数列的增减性 对于an＝dn＋(a1－d)， (1)当d＞0时，数列{an}为_____数列； (2)当d＜0时，数列{an}为_____数列； (3)当d＝0时，数列{an}为_____数列． 递增 递减 常 2．等差中项 (1)如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的__________． (2)在一个等差数列中，中间的每一项(既不是首项也不是末项的项)都是它的前一项与后一项的__________ ． 等差中项 等差中项 3．等差数列的性质 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝_______. (1)特别地，如果2s＝p＋q，则2as＝_______. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. ap＋aq ap＋aq (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为___的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为____的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为___的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为___________的等差数列． d cd 2d pd1＋qd2 1．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a4等于(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：C　 解析： a＋a4＋a5＝3a4＝12，a4＝4. 2．等差数列{an}中，a3＝7，a7＝－5，则公差d＝ (　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 答案：B　 解析：由题意得4d＝a7－a3＝－5－7＝－12，所以d＝－3. 3．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是 (　 ) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 答案：D　 解析： (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19，即数列{an＋bn}是公差为19的等差数列． 4．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列． 答案：3d 解析：(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d. [题点一] 等差中项及应用 [典例1]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， 方法技巧 对点训练 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m和n的等差中项为________． 答案：3 解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. [题点二] 等差数列性质的应用 [典例2]　(1)若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75； (2)等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝187，求a1和d； (3)已知{an}是等差数列,且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值． [解]　(1)∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d′， 则a60＝a15＋3d′＝8＋3d′＝20，解得d′＝4. ∴a75＝a60＋d′＝24. (2)∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56， ∴a4＋a7＝28，又a4·a7＝187， (3)∵{an}是等差数列，∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9. ∴a9＝117.∴a3＋a15＝2a9＝234. 方法技巧 等差数列运算常用的两种思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m，n，k，l，s∈N＋)⇔am＋an＝ak＋al＝