5.1.1 第2课时 数列与函数的关系（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

5.1.1　第二课时　数列与函数的关系 1 1 2 目 录 3 [四层] 学习内容 1 落实必备知识 [四层] 学习内容 2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为__________的子集的函数，数列中的数就是自变量从____到____依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的_______． 正整数集 小 大 解析式 2．数列按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列 常数数列 各项都_____的数列 摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 大于 小于 相等 大于 答案：C 答案：A 3.若数列1,2,4，m,16，…是递增数列，则实数m的取值范围是________. 答案：(4,16) [题点一] 数列增减性的判定与证明 方法技巧 对点训练 所以an＋1＜an. 所以数列{an}是递减数列． [题点二] 数列单调性的应用 即k>3－3n恒成立，当n＝1时，3－3n有最大值为0， 所以k>0. 方法技巧 解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an＋1>an(n∈N＋)； 数列{an}递减⇔an＋1<an(n∈N＋)． 转化为不等式成立(恒成立)，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．或由数列的函数特征，通过构建有关变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围． 对点训练 答案：C　 [典例3]　(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4. ①数列{an}中有多少项是负数？ ②当n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [题点三] 数列中的最大(小)项问题 [解]　(1)①由n2－5n＋4<0得(n－1)(n－4)<0，解得1<n<4.∵n∈N＋，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数． 又∵n∈N＋，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2. 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an， 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， 方法技巧 对点训练 当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an. 故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…， 法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． 故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…， 答案：D　 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－cn(n∈N＋)，则“c≤2”是“{an}为递增数列”的 (　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A　 解析：根据题意，已知数列{an}的通项公式为an＝n2－cn，若数列{an}为单调递增数列，则有an＋1－an＝[(n＋1)2－c(n＋1)]－(n2－cn)＝2n＋1－c>0(n∈N＋)，所以c<2n＋1.因为n∈N＋，所以c<3.所以当c≤2时，数列{an}为单调递增数列．而当数列{an}为单调递增数列时，c≤2不一定成立，所以“c≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件． 答案：D　 强化拓广探索 答案：BC　 解析：由题知数列{an}前8项为1,1,2,2,4,2,6,4，不是递增数列，故A错误；由A可知，{an}的前8项中最大项为a7＝6，故B正确；当n为素数时，n与前n－1个数互素，故an＝n－1，所以C正确；因为a6＝2，故D错误． 5．数列{an}的通项公式为an＝pn2＋n(p∈R)，若an＋1<an，则p的一个取值为________． 1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 (　 ) A．1，，，，… B．－1，－2，－3，－4 C．－1，－，－，－，… D．1，，，…， 2．若数列{an}是递增数列，则{an}的通项公式可能是 (　 ) A．an＝－ B．an＝n2－8n C．an＝2－n D．an＝(－n)n [典例1]　已知数列{an}满足an＝，证明：数列{an}单调递减． [证明]　因为an＋1－an＝－＝＝<0恒成立，所以数列{an}单调递减． 解决数列的单调性问题的两种有效方法 (1)作差法：根据an＋1>an的符号判断数列{an}是递增数列、递减