11.4.1 第1课时 直线与直线所成角及线面垂直的判定定理(强基课)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第四册（人教B版）

课时目标 1.了解两条直线所成角的定义，能用定义找出或作出两条直线所成角． 2．会在三角形中求简单的异面直线所成的角，能利用两条直线的垂直关系． 3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关直线与平面垂直的问题． 11.4.1　直线与平面垂直 第 1 课时　直线与直线所成角及线面垂直的判定定理 (强基课—梯度进阶式教学) 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)直线与直线所成的角 1．异面直线所成的角 (1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b______或______的直线a′，b′，则________所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． (2)异面直线所成角α的取值范围：_____________. 平行 重合 a′与b′ 0°<α≤90° 2．空间两直线垂直 空间中两条直线l，m所成角的大小为______时，称l与m垂直，记作_______. 90° l⊥m 微点助解 (1)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． (2)习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小． (3)在定义中，空间一点O是任取的，根据空间等角定理，可以判定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上． [基点训练] 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 ) A．一定平行　　　　　　 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 答案：B 解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c. 2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．   答案：45° (二)直线与平面垂直的判定定理 1．直线与平面垂直的定义 文字语言 符号语言 图形语言 直线l与平面α垂直的充要条件是，直线l与平面α内的任意直线都垂直 l⊥α⇔∀m⊂α， l⊥m 2．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，则这条直线与这个平面垂直 符号 语言 m⊂α，n⊂α，__________，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形 语言 两条相交直线 m∩n≠∅ 微点助解 (1)该定理可简述为：若线线垂直，则线面垂直． (2)该定理的作用是证明线面垂直． (3)判定定理的条件中，平面内的“两条相交直线”是关键性词语，它不能是“一条直线”或“两条平行直线”，也不能是“无数条直线”，它是定义中“任意直线”的简化． (4)要证一条已知直线与一个平面垂直，只需在该平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(　 ) (2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　 ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 答案：B 题型(一)　异面直线所成的角 [例1]　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心． 求：(1)BE与DH所成的角； (2)FO与BD所成的角． [解]　(1)因为DH∥AE， 所以∠AEB(或其补角)为异面直线BE与DH所成的角． 又在△AEB中，∠AEB＝45°， 所以BE与DH所成的角为45°. (2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB， 所以HD∥FB. 又HD＝FB， 所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD. 所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形． 又知O为AH的中点， 所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°. [方法技巧] 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求