8.2 一元线性回归模型及其应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

8．2　一元线性回归模型及其应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解模型参数的统计意义． 2.了解最小二乘原理. 3.掌握求一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 4.理解残差分析的原理和方法. 5.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 重点 难点 重点:一元线性经验回归方程的建立及应用. 难点:经验回归方程的应用. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 响应变量 解释变量 斜率参数 预测值 观测值减去预测值 残差 (3)残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． (4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (　 ) (5)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 答案：C 3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并分别求得相关系数r与残差平方和m如表： 项目 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则________同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． 答案：丁 解析：由图中数据可得丁的相关系数为0.85最大，更接近1，残差平方m最小，故丁同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性． [题点一] 经验回归方程 [例1]　偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差(实际成绩－平均分＝偏差)．在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18 物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 －0.5 －2.5 －3.5 (1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程； (2)若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．(下面是参考数据和参考公式) [方法技巧] 1．利用经验回归方程进行预测时的注意点 (1)所得的值只是一个估计值，不是精确值； (2)变量x与y成线性相关关系时，经验回归方程才有意义，否则即使求出经验回归方程，也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信、无价值的． x1 x2 … xp y1 y2 … yp 将数据xi，yi(i＝1,2，…，p)分别减去预估数m，n，得 x1－m x2－m … xp－m y1－n y2－n … yp－n 对点训练 x 6.3 7.2 7.8 8.2 9.5 y 42 46 50 m 57 A．52 B．53 C．54 D．55 答案：D　 2．假设某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 (1)求y与x之间的经验回归方程； (2)当使用年限为10年时，估计维修费用是多少？ [题点二] 线性回归分析 [例2]　为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高x(cm) 178 173 158 167 160 173 166 169 体重y(kg) 66 61 50 58 53 66 57 57 (2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58 kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的经验回归方程． [方法技巧] 建立回归模型的基本步骤 (1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量； (2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)； (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选经验回归方程)； (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数； (5)得出结果后需进行线性回归分析． ①残差平方和越小，模型的拟合效果越好． ②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好． 需要注意的是，若题中给出了检验回归方程是否理想