7.5 正态分布（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

7．5　正态分布 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义. 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义. 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率. 重点 难点 重点:会应用3σ原则解决应用题，会求随机变量在特殊区间内的概率. 难点:理解正态分布随机变量的概率密度函数. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量． (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～__________．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从_______________． 正态密度函数 正态密度曲线 N(μ，σ2) 标准正态分布 上方 不相交 x＝μ x＝μ 增大 (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示． 4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________. 5．3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________中的值，这在统计学中称为3σ原则． 0.682 7 0.954 5 0.997 3 [μ－3σ，μ＋3σ] 答案：D A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D　 解析：因为正态密度函数f2(x)和f3(x)的图象关于同一条直线对称，所以μ2＝μ3.又f2(x)的图象的对称轴在f1(x)的图象的对称轴的右边，所以μ1<μ2＝μ3.因为σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由题图，可知正态密度函数f1(x)和f2(x)的图象一样“瘦高”，f3(x)的图象明显“矮胖”，所以σ1＝σ2<σ3. 3.若随机变量X～N(3，σ2)，且P(X>5)＝0.2，则P(1≤X≤5)等于 (　 ) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 答案：A　 解析：由于随机变量X～N(3，σ2)，则P(X<1)＝P(X>5)，因此，P(1≤X≤5)＝1－P(X<1)－P(X>5)＝1－2P(X>5)＝1－2×0.2＝0.6. [题点一] 正态分布和正态曲线的性质 A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2 (2)如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)． [答案]　A [解析]　(1)根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线；当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A. 对点训练 A．μ1最大，σ1最大 B．μ3最大，σ3最大 C．μ1最大，σ3最大 D．μ3最大，σ1最大 答案：D　 解析：由正态分布N(μ，σ2)，可知μ是均值，是正态密度曲线的对称轴，可知μ3最大，σ2表示方差，越小越“瘦高”，越大越“矮胖”，所以σ1最大． 2.已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________. 答案：20　2 [题点二] 利用正态曲线的性质求随机变量的概率 [例2]　设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值； (2)求P(－4≤X≤8)． 附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. (2)由于X～N(2,9)，因此μ＝2，σ＝3， P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，故P(－4≤X≤8)≈0.954 5. [方法技巧] 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)． ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)