6.3.1 二项式定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.3.1　二项式定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理和二项式通项及其应用. 重点 难点 重点:用计数原理分析(a＋b)n的展开式，得到二项式定理. 难点:用计数原理分析二项式的展开式，用两个计数原理证明二项式定理. 1 2 目 录 3 [四层]学习内容1 落实必备知识 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 二项式定理 续表 3．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于________． 答案：x3 [题点一] 二项式定理的正用、逆用 [方法技巧] 二项展开式注意的问题 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 对点训练 [题点二] 二项展开式的系数与特定项 (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 对点训练 [题点三] 多项式的展开问题 [答案]　(1)D　(2)B [方法技巧] 多项式展开问题的求解方法 (1)若多项式恰好能转化为两项的完全平方的形式，则多项式展开问题即可转化为二项式的展开问题，利用相关方法求解即可． (2)若不能直接用完全平方公式转化为二项式的展开问题，则通常有以下两种方法： ①利用项与项的结合转化为二项式展开问题，这时往往要利用两次展开式的二项式通项进行求解，其中项与项结合时要注意合理性与简捷性． ②借鉴推导二项式定理中各项的系数的生成法，求二项展开式的特定项． 对点训练 [例4]　(1)试求1 99510除以8的余数． (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除． [解]　(1)1 99510＝(8×249＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同． 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1. [题点四] 二项式定理的应用 [方法技巧] 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 7．已知m>0，且152 021＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　 ) A．－1 B．1 C．7 D．13 答案：D　 对点训练 8．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除． 一、在典题训练中内化学科素养 二项式定理是高考必考内容，主要考查利用二项展开式求特定项的系数，或已知特定项的系数求参数的值，或运用赋值法求特定项系数和等问题，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大． 答案：－28 强化拓广探索 3．(多选)已知a，b∈N*，函数f(x)＝(1＋x)a＋(1＋x)b，其中x的系数为8，则x2的系数可能为 (　 ) A．12 B．16 C．24 D．28 答案：AB　 4．(多选)(x＋2y＋z)n展开式为多项式，设其展开式经过合并同类项后的项数记为p(n)，其通项的形式为amxiyjzn－i－j(am为项的系数)，则下列说法正确的是 (　 ) A．当n＝8时，x3y2z3前的系数为2 240 B．当n＝8时，x3y2z3前的系数为6 272 C．当n＝11时，p(11)＝78 D．当n＝13时，p(13)＝78 答案：AC　 概念 公式_____________________________________________， n∈N*叫做二项式定理 (a＋b)n的 二项展开式 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 二项式系数 展开式中各项的系数C(k＝0,1,2，…，n) (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 通项 展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk 备注 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝_________________________