6.1 第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第三册（人教A版）

6.1　第二课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题． 2.根据实际问题合理分类或分步． 重点 难点 重点:会利用两个计数原理解决一些实际问题． 难点:利用两个计数原理合理地进行分类和分步. 1 目 录 2 [四层]学习内容2 强化关键能力 [四层]学习内容3.4 浸润学科素养和核心价值 2 [题点一] 组数问题 [例1]　用0,1,2,3,4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ [解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． (4)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中除去个位用过的一个还有3个，可任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)． [方法技巧] 对于组数问题，应掌握的两个原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数字的最高位． 对点训练 1．已知0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字． (1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ (2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？ (3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？ 解：(1)分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个． (2)分3类：①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有5种选法，再选个位数字也有5种选法，共有5×5＝25个；③三位数，先选百位数字，有5种选法，再选十位数字也有5种选法，最后选个位数字，有4种选法，共有5×5×4＝100个．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131个． (3)分4类：①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④5 420也满足条件．故所求四位数共有120＋48＋6＋1＝175个． [题点二] 选(抽)取与分配问题 [例2]　某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门，每个部门至少1个名额，那么不同的名额分配方案总数为　　 (　 ) A．6 B．10 C．15 D．21 [答案]　A [解析]　5个名额分给3个部门，每个部门至少1个名额，存在两类分配方式，即2,2,1和3,1,1. 若分配方式为2,2,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可，有3种可能； 若分配方式为3,1,1，则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可，有3种可能． 综上，共有3＋3＝6种方案． [方法技巧] 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： ①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行． ②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 对点训练 2．已知在直线ax＋by＋c＝0中，a，b，c的值是集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则满足条