2.2 复数的乘法与除法(概念课—逐点理清式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

课时目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 2.2　复数的乘法与除法(概念课—逐点理清式教学) 1 2 目 录 3 逐点清(一)　复数的乘法 逐点清(二)　复数的除法 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 2 [多维度理解] 1．复数乘法的定义 对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2＝－1，定义复数的乘法如下：(a＋bi)(c＋di)＝___________________. 逐点清(一)　复数的乘法 (ac－bd)＋(ad＋bc)i 2．乘法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝______ 结合律 (z1·z2)·z3＝________ 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝___________ z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2＋z1·z3 zm＋n zmn 4．虚数单位i的幂的周期性 i4n＝___，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝ _____(其中n∈N)． 5．常用公式 (1)(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． 1 －i 模的平方 [细微点练明] 1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ (　 ) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i 答案：D　 解析： (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：A　 解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A. 3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 (　 ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案：B　 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是 (　 ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 答案：C　 解析： (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 逐点清(二)　复数的除法 微点助解 (1)复数的除法与根式的除法类似：根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”．从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化”． (2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的，因此，定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法，即设(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi，则a＋bi＝(c＋di)(x＋yi)，由此依据复数相等的充要条件求出x，y即可． 2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝ (　 ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案：A　 答案：D　 逐点清(三)　复数范围内方程根问题 [典例]　(1)若2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋mx＋n＝0的一个根，则m＋n等于 (　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　(1)B　(2)B [针对训练] 1．在复数范围内方程2x2＋3x＋4＝0的解为________． 2．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根． 3.乘方的运算性质 zm·zn＝_____，(zm)n＝______，(z1·z2)n＝______(其中m，n∈N＋)． z·z 6．共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)__________．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2. 解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)．又此点在第二象限，所以解得a＜－1. 5．已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，则＝________. 答案：±(1－2i) 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.又(1－2i)z是实数，所以b－2a＝