5.2 第2课时 余弦函数图象与性质的应用(深化课—题型研究式教学) （课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

5.2　第 2 课时　余弦函数图象与性质的应用 (深化课—题型研究式教学) 题型(三)　与余弦函数有关的最值、值域问题 1 2 目 录 3 题型(一)　余弦函数图象的应用 题型(二)　余弦函数的单调性及应用 2 题型(一)　余弦函数图象的应用 [方法技巧] 利用图象解不等式cos x>a的步骤 (1)作出相应的余弦函数在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上cos x＝a的x值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)写出定义域内的解集． [典例2]　(1)函数y＝1－2cos x的单调递增区间是____________． 题型(二)　余弦函数的单调性及应用 [方法技巧] 利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间，若不属于，先化至同一单调区间内，再比较大小． 答案：B　 解析：函数y＝cos x在区间[－π，0]为增函数，在(0，π)是减函数，故－π<a≤0. 4．cos 110°与sin 10°，－cos 50°的大小关系是________． 答案：sin 10°>cos 110°>－cos 50° 解析：因为sin 10°＝cos 80°，－cos 50°＝cos 130°. 而y＝cos x在[0，π]上单调递减， 所以sin 10°>cos 110°>－cos 50°. 题型(三)　与余弦函数有关的最值、值域问题 (2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，则－1≤t≤1，y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝－1时，函数取得最大值10；当t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧] 求余弦函数的最值、值域的常用方法 (1)求解形如y＝acos x＋b的函数的最值或值域问题时，利用余弦函数的有界性(－1≤cos x≤1)求解．求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑余弦函数的周期性． (2)求解形如y＝acos2x＋bcos x＋c，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝cos x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝cos x的有界性． [典例1]　已知函数f(x)＝2cos x＋1，若f(x)的图象过点，则m＝________；若f(x)<0，则x的取值集合为________________． [答案]　1　 [解析]　当x＝时，f(x)＝2cos＋1＝1， ∴m＝1.f(x)<0，即cos x<－， 作出y＝cos x在x∈[0,2π]上的图象，如图所示． 由图知x的取值集合为. [针对训练] 1．函数y＝的定义域是________． 答案：，k∈Z 解析：要使函数有意义，只需2cos x－≥0， 即cos x≥.由余弦函数图象知(如图)， 所求函数的定义域为，k∈Z. 2．已知方程cos x＝在x∈上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围． 解：作出y＝cos x，x∈与y＝的大致图象，如图所示．由图象，可知当≤<1，即－1<a≤0时，y＝cos x，x∈的图象与y＝的图象有两个交点， 即方程cos x＝在x∈上有两个不同的实数根，故实数a的取值范围为. (2)比较大小：cos________cos. [答案]　(1)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　(2)< [解析]　(1)因为y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)， 所以函数y＝1－2cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)． (2)cos＝cos＝cos， cos＝cos＝cos＝cos. 因为y＝cos x在[0，π]上是单调递减的， 又<，所以cos>cos， 即cos<cos. [针对训练] 3．若函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围为 (　 ) A. B．(－π，0] C. D．(－π，π) [典例3]　(1)已知函数y＝4cos x－1，x∈，此函数的最小值为________，最大值为________． (2)函数y＝cos2x－4cos x＋5的值域是________． [答案]　(1)－1　3　(2)[2,10] [解析]　(1)∵x∈，∴当x＝0时，函数y＝4cos x－1取得最大值为4－1＝3； 当x＝时，函数y＝4cos x－1取得最小值为0－1＝－1. [针对训练] 5．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值是 (　 ) A．2 B．0 C. D．6 答案：B　 解析：设t＝cos x， ∴y＝t2－3t＋2＝2－(－1≤t≤1)， 可知当t＝1时取得最小值0. 6．已知函数y＝2cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b