4.3 诱导公式与对称(强基课—梯度进阶式教学)（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版）

4.3　诱导公式与对称(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过单位圆的对称性掌握角α与－α的正弦函数、余弦函数关系. 2.通过单位圆的对称性掌握角α与π±α的正弦函数、余弦函数关系. 3.能用诱导公式把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的三角函数的化简、求值问题. 1 2 目 录 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．sin α，cos α与sin(－α)，cos(－α)的关系 终边关系 图示 点P与P′关于 x轴对称 公式 sin(－α)＝________，cos(－α)＝______ 性质 正弦函数v＝sin α是_______，余弦函数u＝cos α是_______ －sin α cos α 奇函数 偶函数 2．sin α，cos α与sin(α±π)，cos(α±π)的关系 终边关系 图示 点P与P′关于原点对称 公式 sin(α＋π)＝________，cos(α＋π)＝________， sin(α－π)＝________，cos(α－π)＝________ －sin α －sin α －cos α －cos α 3.sin α，cos α与sin(π－α)，cos(π－α)的关系 终边关系 图示 点P与P′关于y轴对称 公式 sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝________ sin α －cos α 微点助解 (1)诱导公式中α可以是任意角． (2)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示． (3)公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”． “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名； “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由新角所在象限确定符号，如sin(α＋π)，若把α看成锐角，则α＋π在第三象限，所以取负值，故sin(α＋π)＝－sin α. [基点训练] 1．化简：cos(3π－α)＝ (　 ) A．cos α B．－cos α C．sin α D．－sin α 答案：B　 解析：cos(3π－α)＝cos[2π＋(π－α)]＝cos(π－α)＝－cos α.　 题型(一)　对称的理解 [解]　如图： [方法技巧]　判断两角终边位置关系的步骤 建系 画单位圆，以原点为圆心作出单位圆 找角 利用终边相同的角的公式把角化大为小 判断 利用角的终边与单位圆交点的横、纵坐标间的关系判断两角终边间的位置关系 题型(二)　给角求值 [方法技巧]　利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 题型(三)　条件求值 [方法技巧]　解决条件求值问题的两个技巧 [提醒]　设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键． 2．计算：sin 210°＝ (　 ) A. B．－ C. D．－ 答案：D　 解析：sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D. 3．角与角的终边关于________对称． 答案：原点 [典例1]　画出下列各角的终边与单位圆的交点，并说出它们的对称关系． (1)，； (2)，－； (3)－，； (4)－，. (1)如图①，角与的终边与单位圆的交点关于y轴对称． (2)如图②，角与－的终边与单位圆的交点关于x轴对称． (3)如图③，角－与的终边与单位圆的交点重合． (4)如图④，角－与的终边与单位圆的交点关于原点对称． [针对训练] 1．角α的终边与单位圆的交点坐标为，试写出角π－α，α＋π，－α，α－π的终边与单位圆交点的坐标． 解：由角α与π－α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，得角π－α的终边与单位圆的交点坐标为；由角α与α＋π的终边与单位圆的交点关于原点对称，得角α＋π的终边与单位圆的交点坐标为；由角α与－α的终边与单位圆的交点关于x轴对称，得角－α的终边与单位圆的交点坐标为；由角α与α－π的终边与单位圆的交点关于原点对称，得角α－π的终边与单位圆的交点坐标为. [典例2]　计算下列各式的值． (1)sin 750°. (2)sin－cos. (3)cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos. [解]　(1)sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝. (2)原式＝－sin－cos＝－sin－cos＝sin＋cos＝＋＝1. (3)原式＝cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝cos＋cos＋cos－cos－cos－cos＝0. [针对训练] 2．计算下列各式的值． (1)cos(－660°)＋sin 390°； (2)sin(－330°)－cos 960°－cos 1 035°；