4.2等差数列的性质与证明同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2等差数列的性质与证明同步练习 一、单选题 1．在等差数列中，，则（    ）． A．3 B．4 C．6 D．8 2．在等差数列中，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 3．已知等差数列的公差为4，若，，成等比数列，则的值为（    ） A．8 B． C．10 D．14 4．在等差数列中，，，则（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 5．1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线和1531年､1607年的彗星惊人地相似.他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归.这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年.请你预测它在本世纪回归的年份（    ） A．2042 B．2062 C．2082 D．2092 6．已知某等差数列的相邻四项分别为，那么的值依次为（    ） A．2，7 B．1，6 C．0，5 D．无法确定 二、多选题 7．已知在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列有无限项且满足：，其中为大于0的常数，则下列说法正确的有（    ） A．当时，若数列是等差数列，则 B．当时，若数列是单调递增数列，则 C．存在，数列是单调递增数列 D．任意，数列不可能是单调递增数列 三、填空题 9．在等差数列中，若，则与之间的关系是 ． 10．数列的首项且对任意，恒成立，则 . 11．在等差数列中，若，，，则项数 . 12．已知数列满足且，则 ． 四、解答题 13．已知数列满足，，设. （1）求，，； （2）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （3）求数列的通项公式. 14．已知数列，，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列满足，对一切都成立，求数列的通项公式. 15．数列中，，，数列满足.求证：数列是等差数列. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】应用等差数列项数相同且下标和相等的性质即可确定答案. 【详解】由等差数列的性质知：. 故选：C. 2．B 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答. 【详解】在等差数列中，，则数列的公差， 所以. 故选：B 3．D 【分析】由题意得到，进而结合公差为4，求得首项为2，从而可求出结果. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即， 又因为，所以，即，所以， 因此， 故选：D. 4．C 【分析】根据等差数列性质，由求得.即可结合求得的值. 【详解】由等差数列性质可知， ， 又， ， 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列性质的综合应用，属于基础题. 5．B 【分析】构造等差数列求出其通项公式，给n赋值即可. 【详解】由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列， 则等差数列的通项公式为， ∴，. ∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年. 故选：B. 6．A 【分析】利用等差中项公式可得方程组，解之即可. 【详解】由已知，得，解得，故. 故选：A． 7．BC 【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件可知，然后根据， 便可求得答案. 【详解】解：由题意， 设等差数列的公差为d， 则 即，所以 故选：BC. 8．ABD 【分析】对于A，根据等差数列的定义，结合题目中等式，建立方程，解得公差，可得答案； 对于B，根据单调递增数列的定义，建立方程与不等式，可得答案； 对于C、D，利用分类讨论的思想 结合累加法和递增数列的定义，根据作差法，可得答案. 【详解】对于A，由数列为等差数列，可设其公差为， 则，解得， 由，则，解得，故A正确； 对于B，由数列为递增数列，则，设，， 两式相减可得：，解得，故B正确； 对于C、D，当时，，显然此时数列不是递增数列； 当且时，由，，，， 则，则，同理可得：， 两式相减可得：， 当时，必定存在，当时，，则数列不是递增数列； ， 当时，必定存在，当时，，则数列不是递增数列. 故C错误，D正确. 故选：ABD. 9． 【分析】由等差数列性质即可得出结论. 【详解】，由等差数列性质得：=， 即， 故答案为： 10． 【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，从而得到结果. 【详解】因为，且，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 11．10 【分析】根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】解：因为在等差数列中，若，，， 所以，解得， 故答案为：10. 12． 【分析】由题得为等差数列，得，则可求 【详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以． 故答案为2550 【点睛】本题考查等差数列的定义，准确计算