数学探究：用向量法研究三角形的性质学习任务单-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

学习任务单 课程基本信息 学科 数学 年级 高一年级 学期 春季 课题 数学探究：用向量法研究三角形的性质 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年8月 学生信息 姓名 学校 班级 学号 学习目标 1.能用向量法证明三角形中三条中线的有关性质，掌握用向量法研究平面几何问题的一般方法； 2.掌握用向量法探究三角形中线的性质，体会如何用联系的观点看待事物、解决问题； 3.体验数学探究的过程和方法，积累数学活动经验；培养数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养． 课前学习任务 1.掌握向量加法的三角形法则，即回路定理． 2.回忆三角形中线的相关性质． 课上学习任务 【学习任务一】在中，若D，E，F 分别是BC，CA，AB的中点，则有： （1）三角形三条中线交于一点（重心）； （2）三角形的重心是中线的三等分点． 三条中线对应的向量可以用三边对应的向量来表示： ． 问题1：从向量运算的角度出发，这三条中线对应的向量会有怎样的特点呢？ 结论1：． 问题2：我们已经知道三角形的重心是中线的三等分点，这个几何特征可以用向量的数乘运算来刻画，由此你又能得到怎样的结论呢？ 结论2：. 结论3：若为内一点，为重心的充要条件是． 我们将此结论称为三角形重心的向量表示． 问题3：重心是三角形的三条中线的交点，可以说是三角形中的特殊点，那么对于平面内任意一点，它与三角形的三个顶点所形成的向量会有怎样的关系呢？ 结论4：对于平面内任意一点P，有． 追问：若从向量模的角度考虑，对于平面内任意一点，它到三角形三个顶点的距离如何表示？在GeoGebra软件上进行实验，你有什么发现？ 当点P与重心O重合时，取到最小值． 问题4：如果从数量积运算角度考虑三角形中线的性质，你能发现哪些结论？ 结论5：． 小结：回路定理 结论3是考虑结论2的逆命题而得到的；结论3与结论4是特殊与一般的关系． 【学习任务二】 问题5：我们引入三角形的三条中线后，得到了重心O的相关性质，实际上，还得到了一个，你有什么发现吗？ 结论6：对于平面内任意一点P，有. 由于时间的关系，本节课我们的探究暂告一段落．请大家课后循着以上的探究思路，继续思考，还能得到哪些结论？ 【学习任务三】 问题9：回顾上述探究过程，是按照怎样的知识脉络或者逻辑顺序展开探究的? 推荐的学习资源 1.阅读教材P63-P66 数学探究； 2.回忆三角形中线的相关性质； 3.熟练掌握数学软件GeoGebra. 学科网（北京）股份有限公司 $$