1.3正方形的性质及判定－－正方形及其性质考点训练 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质及判定 －－正方形及其性质考点训练 北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 【母题：教材P21议一议】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：_________，使得▱ABCD为正方形. 1 AC＝BD (答案不唯一) 【点拨】 根据题意可知▱ABCD为菱形，要使菱形ABCD为正方形，添加的条件为AB⊥AD，AC＝BD等． 2 【数学文化】【2023·贵阳】如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 2 【点拨】 ∵直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，∴中间小正方形的边长为3－1＝2，∴中间小正方形的周长为8. 【答案】B 4 3 【点拨】 【答案】B 6 【2023·重庆】如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为(　　) A．45° B．60° C．67.5° D．77.5° 4 【点拨】 由正方形的性质及角平分线的定义求出∠BAE＝22.5°，则∠AEB＝67.5°.根据全等三角形的判定及性质得∠AFD＝∠AEB＝67.5°.利用两直线平行，内错角相等得∠CDF＝∠AFD＝67.5°. 【答案】C 8 【2023·江西】沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图)，则长方形的对角线长为________. 5 【点拨】 由正方形的对角线长为2可知①②号三角形的直角边长为1，则长方形的长为2，宽为1. 10 【2023·重庆】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.E，F分别为AC，BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为(　　) A．50° B．55° C．65° D．70° 6 11 【点拨】 由正方形的性质可得AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，易得∠AFO＝70°，利用全等三角形的判定和性质得∠BEO＝∠AFO＝70°.从而可求出∠CBE的度数． 【答案】C 12 7 【点拨】 【答案】B 14 【母题：教材P25习题T4】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到正方形AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是________. 8 【点拨】 设B1C1与CD交于点E，连接AE.利用作差法求出AE一侧的阴影部分的面积，再利用对称性即可得解． 16 【2023·山东实验中学月考】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________. 9 【点拨】 18 【点易错】 本题容易错在不会利用正方形的轴对称性，将两条线段的和转化为一条线段．由于E，F是固定的点，因此可以作点E或点F关于AC所在直线的对称点，利用勾股定理求解． . . . . 19 【2023·随州】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形. 10 (1)求证：AE＝CF； 证明：∵四边形BEDF为正方形， ∴EB＝DF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC. ∴AE＝CF. (2)已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长. 解：∵四边形BEDF为正方形， ∴DE＝EB，DE⊥AB. ∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5， ∴DE＝EB＝4. ∴AE＝AB－EB＝5－4＝1. 由(1)知AE＝CF，∴CF＝1. 【2023·常州天宁区模拟】如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. 11 (1)求证：AF－BF＝EF. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD， ∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°. ∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°. ∴∠DAE＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF. 又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED. ∴△ABF≌△DAE(AAS)． ∴AF＝DE，AE＝BF. ∴AF－BF＝AF－AE＝EF. (2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由. 解：不可能．理由如下： 如图，连接AC，若要使四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形． 由(1)可知DE＝AF， ∴BF＝AF，此时∠BAF＝45°. 又易知∠BAC＝45°， ∴点G与点C重合． 与