1.2矩形的性质与判定应用训练 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.2矩形的性质与判定 －－应用训练 北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 【2023·金陵汇文学校模拟】如图，在▱ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒. 1 2 (1)求证：四边形AECF为平行四边形； 3 (2)当t为何值时，四边形AECF为矩形？ 4 【点方法】 解决动态条件问题的几何题，常用逆向思维来做，即交换问题中的条件与结论的呈现方式进行解答，如将“当t为何值时，四边形AECF为矩形”改为“当四边形AECF为矩形时，t的值是多少”求出t的值即可． . . . . 5 【母题：教材P15例2】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4. 2 (1)求证：▱ABCD是矩形； (2)求AD的长． 【2023·泰州】如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线. 3 (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由. 【2023·云南】如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. 4 (1)求证：四边形ABDF是矩形； ∴△BEA≌△FED(ASA)．∴EF＝EB. 又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形． 又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形． (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 16 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD＝BC，∴∠EBC＝∠FDA.由题意知BE＝DF. 在△BEC和△DFA中， ∴△BEC ≌△DFA(SAS)．∴CE＝AF. 同理可得AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形． 解：∵四边形AECF为平行四边形， ∴当EF＝AC＝8时，四边形AECF为矩形． 当点E在OB上，点F在OD上时，BE＝DF＝(BD－EF)＝×(12－8)＝2，此时t＝2；当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝10，此时t＝10. 综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形． 证明：∵△AOB为等边三角形， ∴∠ABO＝60°，OA＝OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC. ∴BD＝AC.∴▱ABCD是矩形． 解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°. ∵∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°－60°＝30°. ∴BD＝2AB＝8. ∴AD＝＝4. 证明：∵点D是AB的中点，∴AD＝AB. ∵点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线． ∴EF∥AB，EF＝AB.∴EF＝AD. ∴四边形ADFE是平行四边形． ∴AF与DE互相平分． 解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形． 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC. ∵AF＝BC，∴AF＝DE. 由(1)得四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD. ∴∠BAE＝∠FDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE. 在△BEA和△FED中， 解：由(1)得四边形ABDF是矩形， ∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD. ∴AF＝＝＝4. ∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3. 易知∠BDC＝90°， ∴S△BCD＝BD·CD＝×4×3＝6. ∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18. $$