1.1菱形的性质与判定应用训练 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 应用训练 北师版 九年级上 第一章 特殊平行四边形 【2023·凉山州】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. 1 2 (1)求证：四边形ADBF是菱形； 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠ECD，∠FAE＝∠CDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE. ∴△FAE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD.∴AF＝BD. 3 又∵AF∥BD，∴四边形ADBF是平行四边形． 连接FD，交AB于点M. ∵四边形ADBF是平行四边形，∴BM＝AM. 又∵BD＝CD，∴DM∥AC. ∵∠BAC＝90°，∴∠BMD＝90°，∴FD⊥AB. ∴四边形ADBF是菱形． 4 (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长. 5 【点方法】 判定菱形的方法 1．若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分； 2．若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等． 6 【2023·天大附中模拟】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF. 2 (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形BEDF是菱形． 证明：如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF，∴EO＝FO. ∴四边形BEDF是平行四边形． 又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形． 【2023·广元】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB的中点，连接CE. 3 (1)求证：四边形AECD为菱形； 证明：∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2BE. ∵AB＝2CD，∴CD＝AE. 又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形． ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC. ∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠EAC. ∴∠DCA＝∠DAC.∴AD＝CD. ∴四边形AECD是菱形． (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 【点方法】 (1)由一组对边平行且相等可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证AD＝CD，可得结论． (2)由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质等可求BC，AC的长，即可求解． 13 【2023·清华附中模拟】如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE. 4 (1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由； 解：四边形AECF是菱形．理由如下： 设AC，EF交于点O，如图所示． (2)求证：AE⊥DE. 18 解：∵四边形ADBF是菱形，∴S菱形ADBF＝2S△ABD. ∵点D是BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD. ∴S菱形ADBF＝S△ABC＝40. 又∵∠BAC＝90°，∴AB·AC＝40. ∵AB＝8，∴AC＝10. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 解：∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，DC＝2， ∴AD＝AE＝CE＝DC＝2，∠AEC＝∠D＝120°. ∴AE＝CE＝BE＝2，∠CEB＝60°. ∴∠CAE＝∠ACE＝30°，△CEB是等边三角形． ∴BC＝EC＝2，∠B＝60°.∴∠ACB＝90°. ∴AC＝2.∴S△ABC＝BC·AC＝×2×2＝2. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠OAF＝∠OCE. ∵点E与点F关于AC对称， ∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF. 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE(AAS)．∴AF＝CE. ∴AE＝AF＝CE＝CF. ∴四边形AECF是菱形． 证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°. ∴∠BAE＋∠EAC＝∠B＋∠ACB＝90°.　 由(1)知AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACB. ∴∠BAE＝∠B.∴AE＝BE. ∴BE＝EC＝BC. 又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC＝AE. ∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝∠AEB＝60°. ∴∠AEC＝120°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD. ∴∠DCE＝180°－∠B＝120°，CD＝EC. ∴∠CED＝∠CDE＝(180°－120°)＝30°. ∴∠AED＝120°－30°＝90°.∴AE⊥DE. $$