专题1.4 垂直平分线与几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题1.4 垂直平分线与几何综合 · 思想方法 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个） · 典例分析 【典例1】图，在中，，，M为中点，D为射线上一动点，在右侧作等边，直线与直线交于点F．    （1）如图1，当点D与点M重合时，请直接写出与的数量关系：______； （2）如图2，当点D在线段上，求证：点E在的垂直平分线上． （3）点D在射线运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【思路点拨】 （1）想办法证明，，可得结论． （2）连接，，证明垂直平分线段即可． （3）分四种情形：如图中，当时，设，如图中，当时，设，如图中，当时，设，分别构建方程求解即可． 【解题过程】 （1）证明： ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ． （2）证明：连接，．    ，， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ∴E在的垂直平分线上； （3）根据题意：； 如图中，当时，设，    则， ， ． 如图中，当时，设，    则， ， ． 如图中，当时，设，    则有， ， ， 如图中，当时，设，则    ，， ， 解得， 综上所述，的值为或或或． · 学霸必刷 1．（2024上·安徽合肥·八年级统考期末）如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．    （1）求证：； （2）如果．求证：垂直平分线段．   2．（2024上·上海普陀·八年级统考期末）已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． （1）求证：． （2）取边的中点F，连接，求证：平分． 3．（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）（1）在中，、边的垂直平分线分别交边于点、．如图①，若，求证：； （2）如图②，的平分线和边的垂直平分线相交于点，过点作垂直的延长线于点．若，，求的长． 4．（2023上·湖北武汉·八年级校联考期中）已知中，，，为边下方一点，为线段的中点，为线段的垂直平分线上一点，． （1）如图1，若点在同一条直线上． ①求证：点在线段的垂直平分线上； ②请直接写出的度数． （2）如图2，若点不在同一条直线上，连接，先画出关于对称的图形，再求的度数．   5．（2023上·浙江丽水·八年级校考期中）如图，在中，，，于点D，，E为边上一点（不与A，C重合），连接，作，垂足为F，交于点G，连接．分别记，，为，，．    （1）求的长． （2）当时，求的周长． （3）当时，求的长．   6．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，，，，为中点，点分别在直线上，，连接． （1）当点与点重合时，求的长； （2）当点不与点重合时，求证：； （3）若，求线段的长． 7．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点. （1）求证：轴是线段的垂直平分线； （2）以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 8．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）（1）如图1，在中，，，平分，，，求的长； （2）如图2，在中，，，平分，，，求的长； （3）如图3，在中，，，，则的长为__________．   9．（2023上·广东中山·八年级统考期中）如图，的两条高与交于点，，．    （1）求证：； （2）连结，试说明：是的垂直平分线； （3）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．   10．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知，如图，在中，的垂直平分线与的角平分线交于点D，          （1）如图1，判断和之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若时，探究线段之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，