专题18.1 利用勾股定理解三角形（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题18.1 利用勾股定理解三角形 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 · 知识点总结 一、勾股定理 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么+=． · 典例分析 【典例1】如图，在中，，于点D，，分别交、于E、F．    （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，取中点G，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作于点N，并延长交延长线于点M，请直接写出的值． 【思路点拨】 （1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由是的中点，可知，可得是的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用即可证明，即可证得结论； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，利用等腰三角形的性质可得，易知，，由，得，结合（2）中结论，可设，由勾股定理可得，，，，，由可得，进而求得，的长即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）证明：连接，    ∵，， ∴，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，即， ， 中，， ∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）过点作于，过点作于，连接，连接，    ∵，， ∴，， ∴， ∵，，则， ∴，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知：，，， 则， 设，则， ∴，则， ，则， 则， ∵，即： ∴， 又∵， ∴，则， ∴． · 学霸必刷 1．（2023上·江西赣州·九年级统考阶段练习）已知，在中，，，点为边上一个动点，以为边作其右侧作等边．    （1）如图1，线段与线段之间的数量关系为__________； （2）如图2，过点作于点．求证：点是的中点； （3）若． ①如图3，当点是的中点时，过点作于点．求的长； ②当点从点运动到点，则点所经过的路径长__________（直接写出结果）．   2．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，分别以的两边、为腰向外作等腰直角和等腰直角，其中，． （1）如图1，连接、．若，，求的长； （2）如图2，M为的中点，连接，过点M作，交的延长线于点N，连接，试猜想、、之间有何等量关系并证明你的结论． 3．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． （1）当秒时，求的面积； （2）若平分，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 4．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒. （1）求斜边上的高线长； （2）当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）； 若点在的角平分线上，则的值为__________； （3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________. 5．（2023上·重庆南岸·八年级校考开学考试）如图，四边形中，，．    （1）把沿翻折得到，过点作，垂足为，求证：； （2）在（2）的条件下，连接，四边形的面积为45，，，求的长． 6．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 7．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在等腰中，，D为上一点，E为上一点，连接，，． （1）如图1，若，求证： （2）如图2，若，．求的长． （3）如图3，若，，点Q为外一点，且，求线段的长．   8．（2023下·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）定义：在，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角