12.3角的平分线的性质 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章　全等三角形 角平分线的性质 八年级上册 人教版数学 如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE.则△ABC____△ADC，∠BAC____∠DAC． ≌ ＝ 复习导入 　　　　　角平分线的画法 　　　　(教材P48)如图，已知∠α，求作∠α的平分线m. 解：如图，射线m即为所求． 新知探究 知识点 1 　　　　如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程)． 解：如图，点P即为所求． 　　　　　角平分线的性质 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言： 如图，∵PQ是∠MPN的平分线，QM⊥MP，QN⊥NP， ∴____________. QM＝QN 知识点 2 　　　　如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，PD＝4 cm，则PE＝___cm. 4 　　　　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB＝14. (1)点P到AB的距离为___； (2)△APB 的面积为____. 4 28 　　　　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF. (1)求证：CF＝EB； 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE. ∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)． ∴CF＝EB． (2)请直接写出AE，AF与BE之间的数量关系为__________________. AF＋BE＝AE 　　　　如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：BE＝CF. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又AD平分∠BAC，∴DE＝DF. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)． ∴BE＝CF. 1．(2022·北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝___. 1 过关训练 2．用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是(　　) A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 A 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝___cm. 5 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是___. 3 5．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△AOC等于(　　) A．1∶1∶1 B．2∶4∶3　 C．4∶6∶5 D．4∶6∶10 C 6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF交AD于点G.求证：AD⊥EF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(AAS)． ∴AE＝AF. ∴△AEG≌△AFG(SAS)． ∴∠EGA＝∠FGA． 又∠EGA＋∠FGA＝180°， ∴∠EGA＝∠FGA＝90°. ∴AG⊥EF，即AD⊥EF. 1．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则下列说法中正确的是(　　) A．AB＝AC B．BD＝DC　 　　 C．ED＝FD D．AF＝BC C 基础训练 2．如图，点P是∠AOC的平分线上的一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝2，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 C 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16，BD＝10，AB＝20，那么S△BAD的面积是(　　) A．60 B．80 C．100 D．120 A 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6，则△DEB的周长是___. 6 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝6，BD＝8，则线段AF的长度为___. 2 1．如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，S△DBC＝12，BC＝6，则D