1.1 探索勾股定理 勾股定理的证明及简单应用 课件 2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 勾股定理的证明及简单应用 八年级上册 北师大版数学 　　　　如图，用4个全等的直角三角形拼成一个大正方形． (1)大正方形的面积为_________； (2)大正方形的面积还可以表示为_________； (3)可以得到等式__________________，化简为____________. 勾股定理的证明 (a＋b)2 c2＋2ab (a＋b)2＝c2＋2ab a2＋b2＝c2 新知探究 知识点 1 　　　　如图是著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理． 解：因为S小正方形＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2， S小正方形＝c2－4× ab＝c2－2ab， 所以b2－2ab＋a2＝c2－2ab. 所以a2＋b2＝c2. 　　　　如图，长13 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5 m，求梯子的顶端离地面的距离． 解：在Rt△ABC中，BC＝5 m， AC＝13 m， 所以AB2＝AC2－BC2＝132－52＝122. 所以AB＝12 m. 答：梯子的顶端离地面的距离为12 m． 勾股定理在实际问题中的应用 知识点 2 　　　(2022·广州白云区期末)如图，一木杆在离地面4 m的A处折断，木杆顶端落在离木杆底端3 m的B处，则木杆折断之前的长度为(　　) A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m D 　　　(教材P5)如图，小王在距离东西向公路800 m的A处测算某汽车的速度，某一时刻汽车在他正北方向，20 s后汽车与他相距1 000 m，求汽车的速度． 解：由题意，得△ABC为直角三角形． 由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝360 000， 所以BC＝600 m. 所以600÷20＝30 (m/s)． 答：汽车的速度是30 m/s. 　　　　如图，一艘轮船以12 n mile/h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘轮船以 5 n mile/h 的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2 h后两船相距(　　) A．13 n mile B．16 n mile C．20 n mile D．26 n mile D 1．一座城墙高12 m，墙外有一条宽5 m的护城河，那么一架云梯至少要____m才能到达城墙的顶端. 2．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了16 km，然后向正北方向航行了12 km，这时它离出发点有____km. 13 20 过关训练 3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了___m长的路，却踩伤了花草． 2 4．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了___cm. 2 5．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：如图，两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是(　　) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD D 6．(教材P6)如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三个城市的沿江高速公路，已知该沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计是多少？ 解：在Rt△MNO中，MO2＝MN2＋NO2， 所以MO＝50 km. 在Rt△OPQ中，QO2＝OP2＋PQ2， 所以QO＝130 km. (50＋130)×5 000＝900 000(万元)＝90(亿元)． 答：该沿江高速公路的造价预计是90亿元． 7．(教材P7)如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2 m的半圆形，一个长、宽、高分别为1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室吗？请说明理由． 解：能放进储藏室．理由如下： 如图，四边形ABCD是半圆内长方形，O为圆心， 所以AB∥CD，AB＝CD＝1.2 m，OA＝1.2 m. 作OE⊥AB交AB于点E，则OE平分AB． 连接OA．所以AE＝0.6.所以OE2＝OA2－AE2＝1.22－0.62＝1.08. 因为0.82＝0.64，1.08＞0.64， 所以长、宽、高分别是1.2 m，1 m，0.8 m的箱子能放进储藏室． 1．小明搬来一架 5 m 长的木梯靠在墙边，已知木梯顶端距离地面 4 m，则梯脚与墙脚之间的距离为(　　) A．1 m B．2.5 m C．3 m D．4 m C 基础训练 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD ，中间阴影部分是一个小正方形 EFGH，这样就组成一