6.2.3向量的数乘运算课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 2. 向量加法平行四边形法则: 特点: 同起点，对角线 3.向量减法三角形法则: A O B 特点: 同起点，连终点，方向指向被减 复习回顾 思考：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 新知探索 O A B C P Q M N 新知探索 1.向量的数乘运算的定义： 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 新知探索 问题1：如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量、之间的关系怎样？ 注： 向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，无意义； 新知探索 练习1：若任画一向量，分别求作向量， A B C P N M 变式1-1：点在线段上，且，且, 【答案】： ， A C B 思考：数的乘法满足结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 探索新知 = 探究一:实数与向量积的运算律 探索新知 探究二:实数与向量积的运算律 探索新知 探究三：实数与向量积的运算律 = 探索新知 新知探索 2.实数与向量积的运算律： 设为实数，那么 结合律 分配律 分配律 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。 对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 探索新知 √ × × 新知探索 例5：计算： (1)； (2) (3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 新知探索 例6：如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 练习巩固 练习巩固 练习巩固 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间 的位置关系吗？ 探索新知 向量共线定理 思考:1) 为什么要是非零向量? 2) 可以是零向量吗? 向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使 可以 探索新知 判断下列各小题中的向量 与 是否共线. 解： 探索新知 A B C O 解： ,且有公共点Ａ 探索新知 证明（判断）A、B、C三点共线的方法: AB=λBC 　　 且有公共点Ｂ A,B,C三点共线 A B C 探索新知 例8.已知 是两个不共线的向量，向量 共线，求实数 的值。 解：由 不共线，易知向量 为非零向量。 由向量 共线，可知存在实数t，使得 即 因为向量 不共线， 所以 解得 所以，当向量 共线时， 探索新知 一、1.数乘向量的定义及运算律 2.向量共线定理 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 归纳小结 C 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y) 【解析】　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量． 　C 2．下列计算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误． A 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co