9.3 三角形的角平分线、中线和高（教案）-【七彩作业】2023-2024学年七年级数学下册同步教学（冀教版，河北专版）

课时目标 1.理解三角形的角平分线、中线和高的概念,了解三角形重心的概念,会用一般到特殊的转化思想探索三角形的三条角平分线、三条中线、三条高交于一点. 2.让学生经历画三角形的高、中线、角平分线的过程,理解三角形的高、中线、角平分线的特点以及符号语言和图形语言的表达方法,培养学生观察、分析、作图、解决问题的能力. 学习重点 三角形的角平分线、中线、高的概念及画法. 学习难点 探究三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都交于一点的过程. 课时活动设计 复习回顾 问题1:什么是角的平分线?任意画一个角,画出它的角平分线. 问题2:过直线外一点,画已知直线的垂线,能画几条? 问题3:什么是线段的中点?任意画一条线段,画出它的中点. 设计意图:复习回顾旧知,为学习新知识做好准备. 新课导入 问题1:你能通过测量计算,得到一张三角形纸片的面积吗? 问题2:将一张三角形纸片剪一刀,你能将其面积分成相等的两部分吗? 设计意图:通过动手操作,激发学生的好奇心和求知欲. 探究新知 1.三角形的角平分线 问题1:如图,若OC是∠AOB的平分线,你能得到什么结论? 问题2:如果这个角是三角形的一个内角?请同学们在一张纸上任意画一个三角形,你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? 问题3:如图,在△ABC中,如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D,我们就称AD是△ABC的角平分线.如何给三角形的角平分线下一个定义呢? 师生共同总结归纳:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线. 几何语言:∠BAD=∠DAC=∠BAC. 注意:“三角形的角平分线”是一条线段. 问题4:在上边图中画出△ABC的另两条角平分线,观察三条角平分线,你有什么发现? 问题5:画出下列三角形的所有的角平分线,并讨论说明三角形的角平分线有什么特点? 教师引导并总结:三角形的三条角平分线相交于一点. 2.三角形的中线 问题1:如图,如果C是线段AB的中点,你能得到什么结论? 问题2:如图,如果D是线段BC的中点,那么线段AD就称为△ABC的中线.类比三角形的角平分线的概念,试说明什么叫三角形的中线. 师生共同总结:连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线. 几何语言:BD=DC=BC. 问题3:上图中,△ABD与△ACD的面积有什么关系? 师生共同总结:三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 问题4:在上边图中画出△ABC的另两条中线,观察三条中线,你有什么发现? 问题5:画出下列三角形的所有的中线,并讨论说明三角形的中线有什么特点? 教师引导并总结:三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心. 3.三角形的高 类比探索三角形的中线的过程探索三角形的高的概念. 师生总结归纳:三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 如图,线段AD是BC边上的高. 几何语言:AD⊥BC于点D,读作AD垂直BC于点D. 问题:在这些三角形中你能画出几条高?它们有什么相同点和不同点? 师生总结归纳:1.三角形的三条高交于同一点; 2.锐角三角形的高交三角形内部于一点,直角三角形的高交于直角的顶点,钝角三角形的高交三角形外部于一点. 设计意图:探究活动的设计是为了引导学生理解并掌握三角形的角平分线、中线及高的概念.动手实践,探究新知,培养学生的动手能力.通过动手操作,培养学生从一般到特殊的转化思想.经历思考、交流,归纳出三角形三条线段的画法及其性质. 典例精讲 例1　下列说法正确的是　②④　. (填序号)  ①三角形的角平分线是射线; ②三角形的三条角平分线都在三角形内部,且交于一点; ③三角形的三条高都在三角形内部; ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分. 例2　如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1) 若△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10,则 AB=　6　,AC=　4　;  (2)若△ABC的面积等于10,则△ABD的面积等于　5　.  例3　如图,在△ABC中,AD是△ABC的高,AE是△ABC的角平分线,已知∠BAC=82°,∠C=40°,求∠DAE的大小. 解:∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°. ∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°, ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线,且∠BAC=82°,∴∠CAE=∠BAC=41°. ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°=9°. 设计意图:通过例题,让学生灵活运用三角形“三线”的性质解决问题,拓展学生的思维,确保学生能用数学思维方法解决相关问题,培养学生勤于思考,主动探究的品质.