6.4.3.1 余弦定理（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.4.3.1 余弦定理 复习导入 向量的数量积 ①出现平行：） ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） 复习导入 思考：如图，在,两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在点测得,，.请问，你能求出隧道的长度吗？ 问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？ 在，已知：，，，求 追问：这个三角形是唯一确定的吗？ 是 新知探究 问题2：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ b c=？ a ①把几何元素用向量表示： 设，，，那么 ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 新知探究 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . b c a 由余弦定理，我们可知：已知三角形的两边及其夹角，可直接求出第三边. 思考：你能用其它方法证明余弦定理吗？ 新知探究 () 在中，内角，，所对的边分别为如图以点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 由两点间距离公式得： = 即 同理可证 ， 坐标法 新知探究 思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ 新知探究 思考：余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.特别的，当定理中的角为时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 新知探究 思考：当角为直角时，有，当角为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ 练习巩固 例5：在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 练习巩固 例6：在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 练习巩固 练习1：在中，若，，，求及. 解：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 已知两边一角或三边时，可利用余弦定理解三角形。 练习巩固 变式1-1：在中，若，，，求角和边. 解：由余弦定理 ， 得， 即 ∴或 当时，由 可得 当时，同理得 练习巩固 变式1-3：在中，若，，，求，. 解：由余弦定理，得: =， ∴即 由解得或 练习巩固 变式1-4：在中，若，，，求周长. 解：由余弦定理，得: =， ∴即 所以，周长 练习巩固 练习2：在中，若，，，求. 解：根据余弦定理，得 ∵∴. 又 ∵∴. ∴. ∴，. 练习巩固 变式2-1：在中，若，求中各角的度数. 解：已知，可令 由余弦定理的推论，得： ∵∴ ∵∴ ∴ 练习巩固 练习3：在中，已知且试确定的形状 解：∵∴ 而∴∴∴ 又， ∴ 即∴ 又∴ 故为等边三角形. 练习巩固 变式3-1：在中，若，试判断的形状. 解：∵ 则， 是直角三角形. 变式3-2：在中，若，，，则是一个. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定 【答案】： 练习巩固 变式3-3：在中，若，试判断的形状. 解：将已知等式变形为 由余弦定理并整理，得： ∴ ∴ ∴是直角三角形. 小结 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ； ； . $$